Vertrauen in Institutionen in Deutschland mit Faktoranalyse und anderen Verfahren

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Einführung

In Rahmen dieser Vorlesung „Multivariate Statistische Verfahren II“ haben wir verschiedene statistische Verfahren gelernt. Einige der gelernten Verfahren, die uns besonders interessierten, haben wir auf empirische Daten angewendet. Es sollte keine theoretische Arbeit erstehen, da die Theorie sehr ausführlich in der Vorlesung erläutert wurde. Ziel dieser Arbeit ist es, deshalb die gelernten Verfahren in praktischer Anwendung zu üben.

Für diese Arbeit haben wir Daten aus „Allgemeine Bevölkerungsumfrage der Sozialwissenschaften“ ALLBUS 2000 benutzt. Es wurden 666 Personen befragt.

Aus der großen Menge der Variablen fanden wir die Variable des Vertrauens in verschiedenen Institutionen interessant. Dazu haben wir alle 20 Vertrauensvariablen gewählt, die gut für die Faktorenanalyse geeignet ist, und andere Variablen wurden gewählt, die für weitere, in dieser Arbeit zu benutzenden Verfahren interessante Zusammenhänge ergaben.

Aus dem Datensatz wurden folgende Variablen ausgewählt:

  1. Vertrauen: Gesundheitswesen
  2. Vertrauen: Bundesverfassungsgericht
  3. Vertrauen: Bundestag
  4. Vertrauen: Stadt-, Gemeindeverwaltung
  5. Vertrauen: Bundeswehr
  6. Vertrauen: Katholische Kirche
  7. Vertrauen: Evangelische Kirche
  8. Vertrauen: Justiz
  9. Vertrauen: Fernsehen
  10. Vertrauen: Europäisches Parlament
  11. Vertrauen: Europäischer Gerichtshof
  12. Vertrauen: Zeitungswesen
  13. Vertrauen: Hochschulen, Universitäten
  14. Vertrauen: Bundesregierung
  15. Vertrauen: Gewerkschaften
  16. Vertrauen: Polizei
  17. Vertrauen: Arbeitsämter
  18. Vertrauen: Rentenversicherung
  19. Vertrauen: Arbeitgeberverbände
  20. Vertrauen: Kommission der EU

Andere Variablen:

  • Geschlecht der Befragten
  • Subjektive Schichteinstufung
  • Alter der Befragten

Ziel der Arbeit:

  • Aufdeckung latenter Strukturen unter den 20 Variablen des Vertrauens in Institutionen (FA)
  • Untersuchung der Zusammenhänge zwischen den Faktoren und den anderen Variablen (Kontingenztabelle)
  • Gibt es Mittelwertunterschiede in Bezug auf die anderen erklärenden Variablen? (ANOVA)
  • Grafische Positionierung der Faktoren in zweidimensionalem Raum zueinander (MDS)

Ergebnisse der Faktorenanalyse

Es soll untersucht werden ob hinter den zwanzig Variablen des Vertrauens Gruppen von Variablen stehen. Falls es so wäre, so hätte man gleichzeitig eine Dimensionsreduktion erreicht. Aus statistischer Sicht bedeutet dies, dass es Variablen geben muss, die untereinander stark korrelieren, stark zusammenhängen, und somit im weiteren einen gemeinsamen Faktor bilden.

In der Korrelationsmatrix (Tabelle 1.1) sieht man, dass einige Variablen sehr stark miteinander korrelieren (z.B. Kath. Kirche und Evangelische Kirche, Korr. Koeff. 0,784) , andere wenig (wie z.B. Katholische Kirche und Europäische Kommission, Korr. Koeff. 0,154), außerdem sind alle Korrelationskoeffizienten signifikant von Null verschieden.


T11.jpg Tabelle 1.1: Matrix der Korrelationskoeffizienten für die zwanzig beobachteten Variablen

In der Tabelle 1.2 sind die Ergebnisse des Bartlett-Tests auf Sphärizität und des Kaiser-Meyer-Olkin Kriterium gegeben. Die Nullhypothese des Bartlett-Tests auf Sphärizität ist , dass alle Korrelationskoeffizienten gleich Null sind. Hier wird die Nullhypothese mit der Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,000 zurückgewiesen. Kaiser-Meyer-Olkin Kriterium ist ein maßgebendes Kriterium für die Eignung der Variablen für eine Faktorenanalyse.


KMO = \frac{\sum\sum r_{ij}^2}{\sum\sum r_{ij}^2 + \sum\sum a_{ij}^2} für i \neq j


Dabei bezeichnet r_{ij}den einfachen Korrelationskoeffizienten zwischen den Variablen i und j, während a_{ij} der entsprechende partielle Korrelationskoeffizient ist. Das KMO-Maß kann höchsten den Wert 1 annehmen. Ein Wert in der Nähe von 1 wird dann erreicht,wenn die partiellen Korrelationskoeffizienten sehr klein sind.


Dieses Maß hat hier den Wert 0,861, was eine recht gute Eignung besagt.


T12.jpg Tabelle 1.2: KMO und Bartlett-Test


Da hier sowohl die einzelnen Korrelationskoeffizienten, als auch alle zusammen bei 5% Irrtumswahrscheinlichkeit signifikant sind, so gibt es Hintergrundvariablen, und somit ist eine Faktoranalyse sinnvoll.

Des Weiteren ist der Grad der Korrelation zwischen den beobachteten Variablen von Interesse, so betrachtet man die Anti-Image-Korrelationsmatrix, die man hier in der Tabelle 1.4 finden kann. In der Hauptdiagonale der Anti-Image-Korrelationsmatrix sind die MSA (Measure of Sampling Adequacy, Maß für die Eignung der Stichprobe) Werte. Dieser Wert für jede einzelne Variable ist auf gleiche Weise, wie der Meyer-Olkin Kriterium zu interpretieren.


MSA_{i} = \frac{\sum_{j} r_{ij}^2}{\sum_{j} r_{ij}^2 + \sum_{j} a_{ij}^2} für i \neq j


Bei Werten >0,5 gibt es kein Anlass diese Variable aus der Analyse herauszunehmen. Diese Werte liegen zwischen 0,746 und 0,949, was als mittelprächtig bis fabelhaft bedeutet .


Die Eigenwerte in der Tabelle 1.3 geben den Betrag der Gesamtstreuung aller beobachteten Variablen an, der durch diesen Faktor erklärt wird. Da die Variablen zuvor transformiert wurden, beträgt die Gesamtstreuung 20 (gleich Anzahl der Variablen). Hier sieht man ebenfalls, dass die fünf Faktoren, deren Eigenwerte >1 sind, zusammen 61,239 % der Gasamtvarianz erklären.

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Tabelle 1.3: Eigenwerte der Faktoren für Lösungen mit zwanzig und fünf Faktoren


T14.jpg Tabelle 1.4: Anti-Image Matrix der zwanzig Variablen


Kommunalitäten besagen, welchen Betrag der Streuung einer Variablen alle Faktoren zusammen erklären. Die Werte liegen zwischen Null und Eins.


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Tabelle 1.5: Kommunalitäten für Lösungen mit zwanzig (Anfänglich) und fünf (Extraktion) Faktoren

Nun muss die Zahl der Faktoren bestimmt werden. Mit der Faktorenanalyse möchte man einen hinreichend großen Teil der Streuung erklären und zugleich eine Reduktion der Komplexität erreichen. In der Literatur gibt es mehrere Auswahlkriterien, hier sollen die gängigsten verwendet werden. Es sollen nur die Faktoren genommen werden deren Eigenwerte >1 sind. Siehe hierzu Tabelle 1.3 und den Screeplot in Abbildung 1.1. Fünf Faktoren haben Eigenwerte >1 und erklären 61,239 % der Gesamtvarianz.

In der folgenden Tabelle 1.6 sieht man die rotierten Faktorladungen. Die Rotation erleichtert die Interpretation der Faktoren, aber sie verändert nicht den Fit, die Kommunalitäten und die Eigenwerte. Hier wurde die Varimax Methode verwendet. Dies ist ein orthogonales Verfahren, bei dem lediglich die Achsen gedreht werden, deren Position zu einander bleibt aber unverändert. In der sortierten Darstellung der Faktorladungen, wurden Ladungen < 0,41 bewusst unterdrückt. Tabelle 1.6: Sortierte Faktorladungsmatrix nach einer Varimax-Rotation; Koeffizienten <0,41 wurden unterdrückt

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Tabelle 1.6: Sortierte Faktorladungsmatrix nach einer Varimax-Rotation; Koeffizienten <0,41 wurden unterdrückt


Im Folgenden haben wir den Faktoren Namen gegeben und deren Werte, die mit Regressionsschätzverfahren gewonnen wurden, für weitere Untersuchungen abgespeichert.




Folgende Faktoren wurden extrahiert:

  1. Staat:
    • Bundestag
    • Bundesregierung
    • Bundesverfassungsgericht
    • Justiz
    • Stadt-, Gemeindeverwaltung
    • Polizei
    • Hochschulen, Universitäten
    • Bundeswehr
    • Gesundheitswesen
    • Gewerkschaften
  2. Europäische Union:
    • Europäisches Parlament
    • Kommission der EU
    • Europäischer Gerichtshof
  3. Religion:
    • Katholische Kirche
    • Evangelische Kirche
  4. Sicherheit im Leben:
    • Rentenversicherung
    • Arbeitsämter
    • Arbeitsgeberverbände
  5. Medien:
    • Fernsehen
    • Zeitungswesen

Zusammenhangsanalyse der gewonnenen Faktoren mit den anderen Variablen

Eine Möglichkeit erweiterter Analyse stellt die Zusammenhangsanalyse dar. Es ist zum Beispiel interessant zu sehen ob es einen Zusammenhang zwischen den Faktoren und den anderen drei Variablen wie „Geschlecht“, „Alter“ (kategorisiert) und „subjektive Schichteinstufung“ besteht.

Um dieses machen zu können wurden die Faktorwerte in je vier gleiche (25%) Gruppen eingeteilt mit Beschriftung „kein Vertrauen“, „wenig Vertrauen“, „starker Vertrauen“ und „sehr starker Vertrauen“.

Für die Zusammenhangsanalyse wurden Kontingenztabellen und Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest nach Pearson mit der Nullhypothese: „Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen; einem Faktor und einer der „anderen“ Variablen“, angewandt. Die Approximationsbedingung für die Nutzung dieses Testes, dass höchstens 20% aller erwarteten Zellhäufigkeiten < 5 sind, ist für alle untersuchten Fälle erfüllt.

  • Kontingenztabelle (Chi-Quadrat-Test)
    Alle fünf Faktoren werden von der subjektiven Schichteinstufung beeinflusst
    Alter spielt nur bei Faktoren 2, 3, und 4 eine Rolle
    Die Faktoren 2 und 4 werden von der Variablen Geschlecht beeinflusst

Als repräsentable Beispiele werden hier nur einige der gewonnenen Ergebnisse im Folgenden expliziert dargestellt.

Der vierte Faktor „Sicherheit im Leben“ hat einen signifikanten Zusammenhang mit der kategorisierten Variable „Alter“. In der folgenden Tabelle 2.1 sieht man, dass anscheinend jüngere Leute bis 44 Jahre eher keinen oder wenig Vertrauen in „Sicherheit im Leben“ haben. Ältere Menschen, die schon bald Rentner werden, oder schon Rentner sind, haben eher starkes oder sehr starkes Vertrauen in „Sicherheit im Leben“. Dieses könnte auch damit zusammen hängen, dass die Renten und die Arbeitssicherung durch die Politik besonders für die zukünftige Generationen nicht ausreichend gesichert erscheinen.

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Tabelle 2.1: Faktor „Sicherheit im Leben“ und Variable „Alter“

Durch den Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest nach Pearson wird hier auch die Nullhypothese, dass die Variablen unabhängig sind, eindeutig abgelehnt. Der Linear bei Linear Association ist zu vernachlässigen, da dieses Maß nur für metrisch skalierte Variablen anwendbar ist.

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Tabelle 2.2: Chi-Quadrat-Test für Faktor „Sicherheit im Leben“ und Variable „Alter“


In den folgenden Tabellen 2.3 und 2.4 sind zum Vergleich noch einige bekannte Zusammenhangsmaße für ordinalskalierte Variablen angeführt worden. Der Kendall´s tau c (Wert 0,224) und Gamma (Wert 0,289) Werte zeigen einen relativ großen Ausmaß und positive Richtung der Beziehung der beiden Variablen, was die oben genannte Aussage nur bestätigt. Auch der Somers´D Wert ist sowohl für symmetrische, als auch für asymmetrische Betrachtungsweise hoch signifikant, und deutet jeweils auf eine positive Beziehung hin

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Tabelle 2.3: Kendall´s tau c und Gamma für Faktor „Sicherheit im Leben“ und Variable „Alter“


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Tabelle 2.4: Somers´d für Faktor „Sicherheit im Leben“ und Variable „Alter“


Das zweite Beispiel stellt hier der Faktor „europäische Union“ und Variable „Geschlecht“ dar. Aus der Kontingenztabelle kann man davon ausgehen, dass Männer eher „kein“ oder „wenig“, Frauen aber eher „starken“ oder „sehr starken“ Vertrauen in die Europäische Union haben. Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest nach Pearson (siehe Tabelle 2.5) bestätigt diese Vermutung. T25.jpg

Tabelle 2.5: Faktor „europäische Union“ und Variable „Geschlecht“


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Tabelle 2.6: Faktor „europäische Union“ und Variable „Geschlecht“


Auch in der nächsten Abbildung ist die gleiche Tendenz für die Variable „Geschlecht“ und Faktor „EU“ deutlich zu sehen. In der Grafik sind Mittelwerte aus den ursprünglichen Faktorwerten berechnet worden.

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Abbildung 2.1: Grafische Darstellung der Faktorwerte mit der Variable Geschlecht


Des Weiteren sind folgende Zusammenhänge festgestellt worden:

  • „Vertrauen in die Europäische Union“ und „Selbsteinstufung der Schichtzugehörigkeit“, hier zeichnet sich die Mittelschicht durch stärkeres Vertrauen aus.
  • „Vertrauen in die Europäische Union“ und „Alter“, dabei haben junge Leute und alte Leute stärkeres Vertrauen in die Europäische Union, wohingegen Menschen in den mittleren Altersgruppen haben eher weniger Vertrauen. Dieser Eindruck wird ebenfalls durch die Medien vermittelt, dass ältere Leute sich über die europäische Zusammenhaltung freuen, die jüngeren Leute im Vereinigten Europa ihre Zukunftschancen sehen, und die mittlere Generation, die die Europäische Union eher als Bedrohung sehen im Zusammenhang mit Arbeitsplätzeverlust.
  • „Vertrauen in die Religion“ und „Alter“, je älter man ist umso stärker das Vertrauen.
  • „Vertrauen in die Religion“ und „Subjektive Schichteinstufung“, Menschen mit höherer subjektiver Schichteinstufung haben stärkeres Vertrauen in die Religion.
  • „Medien“ und „Subjektive Schichteinstufung“, Arbeiter vertrauen eher in die Medien als andere Schichten, nach Selbsteinstufung.


Einige der genannten Zusammenhänge kann man auch in der folgenden einfachen Grafik feststellen:

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Abbildung 2.2: Grafische Darstellung der Faktorwerte mit der Variable „Alter“

Hier sieht man gut je kleiner der Wert, desto weniger Vertrauen z. B.,dass junge Leute weniger Vertrauen in „Sicherheit im Leben“ (Faktor 4) haben.

Mittelwertvergleiche mit ANOVA

Eine weitere Aufgabe dieser Arbeit war die Untersuchung der Mittelwertunterscheide im Bezug auf die „anderen“ Variablen.

Die Voraussetzung für die Eignung der Variablen, in diesem Fall, der gewonnenen Faktoren für die Varianzanalyse, ist Normalverteilung dieser Variablen.

Die Normalverteilung soll mit Hilfe des Kolmogorov-Smirnov-Tests mit der Nullhypothese: Werte der Variablen sind normalverteilt, erfolgen. Außerdem wurden auch die Q-Q-Plots in die Analyse miteinbezogen. Der Normalverteilungsplot ist eine Gegenüberstellung der empirischen Werte gegen die theoretischen Werte unter Normalverteilung. Unter Normalverteilung müssten beide übereinstimmen. In der Tabelle 3.1 sieht man, dass nur Faktor 1 „Staat“ und Faktor 5 „Medien“ normalverteilt sind.

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Tabelle 3.1: Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung der Variablen

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Abbildung 3.1: Q-Q-Plot der Variable (Faktor) „Vertrauen in den Staat“

Entsprechend darf nur für den Faktor „Staat“ und „Medien“ eine einfaktorielle Varianzanalyse durchgeführt werden. Mit dem F-Test wird die Nullhypothese geprüft, dass die abhängige Variable in allen beobachteten Fallgruppen in der Grundgesamtheit einen gleich hohen Mittelwert aufweist.

In der Tabelle 3.2 sieht man die Deskriptiven Statistiken, die im Zusammenhang mit der univariaten Varianzanalyse interessant sind.

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Tabelle 3.2: Deskriptive Statistiken für die Variable „Vertrauen in Medien“ und Faktorvariable „Subjektive Schichteinstufung“


In der Folgenden Tabelle 3.3 ist das Ergebnis des F-Tests zu sehen. Es gibt Mittelwertunterschiede bezüglich der Variable „Subjektive Schichteinstufung“. Anhand des F-Tests kann man die Nullhypothese nur mit 0,4 % Wahrscheinlichkeit zurückweisen.

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Tabelle 3.3: ANOVA Ergebnis der Variable „Vertrauen in Medien“ und Faktorvariable „Subjektive Schichteinstufung“

Multidimensionale Skalierung

Eine weitere Aufgabe dieser Arbeit war es grafische Positionierung der Faktoren zueinander im zweidimensionalen Raum darzustellen. Wobei die Dimensionen nicht im Voraus bestimmt werden, sondern im Nachhinein durch den Anwender benannt. Vorteil dieses Verfahrens ist es, dass man dadurch auf noch wenigere Dimensionen kommt, die grafisch dargestellt werden. Auch mit der Faktorenanalyse hätte man weniger Faktoren auswählen können, aber wir sind zu so schönen trennbaren Faktoren gelangt, dass wir es dabei belassen wollten.

Es wurden alle fünf Faktoren, die wie bei der Zusammenhangsanalyse in vier gleiche Gruppen eingeteilt wurden, zur Erzeugung der Euklidischen Distanzen benutzt. In der Grafik werden Disparitäten, die transformierten Werte der Distanzen verwendet.

Die Konfiguration wurde hier anhand von zwei Kriterien, den S-Stress und den RSQ Wert, beurteilt. Der Stress-Wert von Kruskal misst den Grad der Abweichung zwischen Disparität und Distanz. Diese Werte liegen zwischen Null und Eins, wobei Null perfekte Übereinstimmung bedeutet. Der RSQ Wert misst dagegen den Grad der Übereinstimmung zwischen Disparität und Distanz (Goodness of fit), stellt die quadrierte Korrelation zwischen Disparität und Distanz dar. Diese Werte liegen zwischen Null und Eins, wobei Eins perfekte Übereinstimmung bedeutet.

Es ergab sich folgende Güte der Anpassung: Stress 0,00294 und RSQ 0,99992, beide Werte zeigen perfekte Übereinstimmung zwischen den Distanzen und den Disparitäten. In der Abbildung 4.1 sieht man die grafische Positionierung der fünf Faktoren, wobei Faktor 1: „Vertrauen in den Staat“ Faktor 2: „Vertrauen in die Europäische Union“ Faktor 3: „Vertrauen in die Religion“ Faktor 4: „Vertrauen in Sicherheit im Leben“ Faktor 5: „Vertrauen in die Medien“ waren.

Hier ist die Benennung der Dimensionen nicht einfach, deshalb machen wir hier nur einen Vorschlag. Aus der Überlegung, dass der Faktor „Staat“ ganz rechts liegt und der Faktor „EU“ auch eine deutliche Rechtspositionierung hat, haben wir diese x-Achse „Staatlichkeit“ genannt. Wenn man davon ausgeht, dass die Religionssteuer über den Staat eingezogen wird, kann man auch die etwas rechts von der Mitte liegende Position des Faktors „Religion“ erklären. Faktor „Medien“ liegt aber deutlich links, was mit wenig „Staatlichkeit“,Staatszensur erklärt werden könnte. Die y-Achse haben wir „Öffentlichkeit“ genannt, aus der Überlegung, dass anscheinend in dem Faktor „Sicherheit im Leben“, in den Variablen wie Arbeitsämter und Rentenversicherung zusammentreffen, als privat aufgefasst werden, wegen persönliche Bemühungen, zum Beispiel eine sozialabgabenpflichtige Arbeit zu haben. Die Faktoren „Medien“ und „EU“ sprechen für „Öffentlichkeit“, da man über die Europäische Union hauptsächlich nur von der Öffentlichkeit erfährt.

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Abbildung 4.1: Grafische Positionierung der Faktoren in 2-dimensionalem Raum

Zusammenfassung

Ziel dieser Arbeit war es die Aufdeckung latenter Strukturen unter den 20 Variablen des Vertrauens in Institutionen, Untersuchung der Zusammenhänge zwischen den Faktoren und den anderen Variablen und grafische Positionierung der Faktoren im zweidimensionalen Raum zueinander.

Es sollte untersucht werden ob hinter den zwanzig Variablen des Vertrauens Gruppen von Variablen stehen. Wie man sehen konnte, hat man eindeutig fünf latente Variablen hinter den gegebenen Variablen bekommen und gleichzeitig eine Dimensionsreduktion erreicht. Die fünf Faktoren ergaben auch einen sinngemäßen Zusammenhang, so dass es nicht versucht wurde die Dimension auf diese Weise noch weiter zu reduzieren.

Eine zweite Aufgabe war es eine erweiterte Zusammenhangsanalyse mit Hilfe von Kontingenztabellen, Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest, sowie Zusammenhangsmaße. Es war zum Beispiel interessant zu sehen, ob es ein Zusammenhang zwischen den Faktoren und den anderen drei Variablen wie „Geschlecht“, „Alter“ (kategorisiert) und „subjektive Schichteinstufung“ besteht. Es zeigte sich, dass alle fünf Faktoren von der subjektiven Schichteinstufung, dass die Faktoren „Europäische Union“, „“Religion“ und „Sicherheit im Leben“ von der Variable „Alter“ und die Faktoren „Europäische Union“ und „Sicherheit im Leben“ von Variable „Geschlecht“ beeinflusst werden.

In dem dritten Kapitel dieser Arbeit war die Untersuchung der Mittelwertunterscheide im Bezug auf die „anderen“ Variablen unternommen worden. Nur für den Faktor „Staat“ und „Medien“ durfte eine einfaktorielle Varianzanalyse durchgeführt werden. Es ergaben sich z.B. Mittelwertunterschiede für den Faktor „Medien“ bezüglich der Variable „Subjektive Schichteinstufung“.

Eine weitere Aufgabe dieser Arbeit war es grafische Positionierung der Faktoren zueinander im zweidimensionalen Raum darzustellen. Die Dimensionen sollten nicht im Voraus bestimmt werden, sondern im Nachhinein durch den Anwender benannt. Auch wenn die Benennung der Dimensionen nicht einfach war, so hat man trotzdem ein Gefühl für die Positionierung der Faktoren in Zweidimensionalen Raum zueinander bekommen.

Literaturliste

Backhaus, K./ Erichson, B. / Plinke, W. / Weiber. R.: Multivariate Analysemethoden, 11.Auflage, Springer 2006

Brosius, Felix: SPSS 12, Bonn 2004

Bühl, Achim / Zöfel, Peter: SPSS 12 Einführung in die moderne Datenanalyse unter Windows 9.Auflage, 2005 by Pearson Studium

Fahrmeir, L./ Hamerle, A.: Multivariate statistische Vervahren, Walter de Gruyter, Berlin 1984

Härdle, W. / Simler, L.: Applied Multivariate Statistikal Analysis, Springer 2003

Hartung, J. / Elpelt, B.: Multivariate Statistik, 3. Auflage, Oldenburg, Münche, Wien 1989

Rönz, Bernd: Comutergestützte Statistik II, Humboldt-Universität zu Berlin 2000

Kommentare

  • Skalenniveau der Variablen? Welche Korrelation verwendet? Welcher Test?
  • Klare Struktur und Fragestellung
  • Warum wurde 0,41 zur Unterdrückung benutzt?
  • Wäre zum Vergleich der Faktoren nicht \eta^2 nicht besser geeignet gewesen?
  • In Abb. 2.1. und 2.2. hätte man in der Legende die Faktoren ruhig korrekt benennen können