Strukturgleichungsmodelle

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Definition und Abgrenzung

Strukturgleichungsmodelle sind statistische Verfahren zur Prüfung von exante aufgestellten oder vermuteten Modellen. Dabei werden Methoden der konfirmative Faktorenanalyse, der Pfadanalyse und der Regressionsanalyse verbunden. Wenn mit Hilfe eines Datensatzes Kausalitäten überprüft werden, so spricht man von einer Kausalanalyse. Da dieses Verfahren konfirmatorisch ist, sollte man sich jedoch von vornherein darüber im Klaren sein welche Indikatoren (gemessene Variablen) auf welche latente Fakoren (d.h nicht messbare Variablen) wirken. Dazu sollte man z.B eine Theorie aus Sozialwissenschaft oder Psychologie verfolgen. Das Besondere von Strukturgleichungsmodellen im Rahmen der Kausalanalyse ist, dass auch Zusammenhänge zwischen den latenten Faktoren überprüft werden können. Eine

Deklaration

Strukturgleichungsmodelle bestehen aus unabhängigen latenten auch als exogen bezeichnet Variablen und abhängig latenten auch als endogene Variablen bezeichnet, die durch gerichtete Wechselwirkungen (Richtungspfeile = Regressionsgewichte) oder ungerichtete Wechselwirkungen (Doppelpfeile=Korrelation) untereinander verbunden sind, sowie Fehlertermen, die zur Modellierung der nicht erklärten Varianz der Variablen dienen. Die Fehlerterme sind als unkorreliert anzunehmen.

Idee

Überprüfung kausaler Zusammenhänge zwischen den hypothetischen Konstrukten kann jedoch nur durchgeführt werden, wenn die hypothetischen Konstrukte durch eine oder mehrere Indikatorvariablen beschrieben sind (Daten müssen vorliegen). Die Indikatorvariablen der exogen latenten Variablen werden mit X\, bezeichnet, die der endogen latenten mit Y\,. Die endogen latenten Variablen werden mit \eta\, bezeichnet die exogen latenten mit \xi\,. Die Beziehungen unter den latenten Variablen werden im Strukturmodell durch lineare Gleichungen dargestellt. Beziehungen von Indikatorvariablen zu ihren latenten Variablen in den Messmodellen. Alle Gleichungen zusammen ergeben dann das Strukturgleichungsmodell. Zur Berechnung der sog. Dependenzstrukturen müssen die latenten Variablen zuvor jeweils mit Hilfe ihrer Messmodelle bestimmt werden. Die Schätzung des Strukturmodells erfolgt dann mit einer multiplen Regressionsanalyse.

Abbildung 2: Pfaddiagramm

Mathematische Grundlagen

Nachdem nun die Idee der Strukturgleichungsmodelle dargestellt worden ist, soll nun noch auf die mathematische Grundlagen eingegangen werden.

Allgemeine Gleichungen zur Schätzungen der Parameter

Strukturmodell allgemein

\eta\,=\Gamma\,*\xi\, \zeta\,

Meßmodell der latenten endogenen Variablen

y\,=\Lambda_y\, *\eta\, \varepsilon\,

Meßmodell der latenten endogenen Variablen

x\,=\Lambda_x\, *\xi\,\eta\, \delta\,


Zum besseren Verständnis soll nun unser Beispiel in Form eines Strukturgleichungsmodells dargestellt werden. Dazu müssen alles Verbindungen des Pfaddiagramms spezifiziert werden.

(A) Strukturmodell

\eta_1\,=\gamma_{11}\,*\xi_1\, \zeta\, \gamma_{12}\,*\xi_2\, \zeta\, \gamma_{13}\,*\xi_3\, \zeta_1\,

(B) Meßmodell der latenten endogenen Variablen

y_1\,=\lambda_{11}\, *\eta_1\, \varepsilon_1\,

(C)Meßmodell der latenten endogenen Variablen

x1=\lambda_{11}*\xi_1\eta \delta_1

x2=\lambda_{21}*\xi_1\eta \delta_2

x3=\lambda_{32}*\xi_2\eta \delta_3

x4=\lambda_{42}*\xi_2\eta \delta_4

x5=\lambda_{53}*\xi_3\eta \delta_5

x6=\lambda_{63}*\xi_3\eta \delta_6

In Gleichung (A) sind zu schätzen

\gamma_{11} \gamma_{12} \gamma_{13} \xi_1 \xi_2 \xi_3 = 6 Parameter

In Gleichung (B) sind zu schätzen

Keine, da wir davon ausgehen das der IQ komplett durch den Intelligenz erklärt werden kann.

Wir setzen \lambda_{11} auf eins und \varepsilon_1 auf 0.

In Gleichung (C) sind zu schätzen

\lambda_{11} \lambda_{32} \lambda_{53} werden auf 1 gesetzt.

damit \lambda_{21} \lambda_{42} \lambda_{63} \delta_{11} \delta_{22} \delta_{33} \delta_{44} \delta_{55} \delta_{66} = 9 Parameter

Varianzen und Korrelationen der latent exogenen Variablen

\Psi_{11} \Psi_{22} \Psi_{33} \Psi_{21} \Psi_{31} \Psi_{32} = 6 Parameter

Zusammen haben wir 6 9 6 = 21 Parameter zu schätzen.

Identifizierbarkeit

Es wurden eine Y Variable und sechs X Variablen erhoben. Dadurch bekommen wir s=(7 * 8) / 2 zur Verfügung stehenden Korrelationen. Unser Beispielmodell hat df = 23 - 21 = 2 Freiheitsgrade und ist damit eindeutig Identifizierbar. Durch die niedrige Anzahl der Freiheitsgrade sollte man überlegen die vielleicht mehr Indikatorvariablen zu erheben, um die Qualität zu verbessern.

Beispiel Schülerzufriedenheit Annedore-Leber-Schule

Neben der Software AMOS besitzen noch die Software LISREL und EQS die Möglichkeit Pfadmodelle zu visualisieren und Modifikationen grafisch vorzunehmen. AMOS liefert dann alle zu schätzenden Werte. AMOS ist nach kurzer Einarbeitungszeit sehr gut bedienbar und erfreut sich in vielen wissenschaftlichen Fragestellungen wachsender Beliebtheit. Da uns die Ergebnisse der explorativen Faktorenanalyse sehr plausibel erschienen, haben wir die 4 extrahierten Faktoren als latent exogenes Messmodell modelliert um die Interkorrelationen der latenten Variablen zu schätzen. In einem zweiten Modell haben wir das Konstrukt Zufriedenheit mit der Schule als endogen angenommen, um die Regressionsgewichte der exogenen Variablen zu schätzen. Die Regressionskoeffizienten geben an welcher Anteil Varianz durch die zugehörige latent exogene Variable erklärt wird.

Ergebnisse

Abbildung 11:Screenshot unseres Amos Modells

Die geschätzten Faktorladungen mit AMOS sind wie zu erwarten, fast genau gleich der rotierten Varimax Lösung der explorativen Faktorenanalyse. Unser erstes Modell ergibt aber einen χ2 Wert von 604 und die Nullhypothese wird von AMOS auf jedem Signifikanzniveau verworfen. Bei Praktischen Anwendungen geht man davon aus, dass ein Modell gut ist, wenn das Verhältnis χ2/df< 2,5 gilt (vgl. Backhaus). Unser Ergebnis ist mit 2,35 noch als gutes Modell zu betrachten. Wir müssen aber auf andere Fit Indizes schauen. Der Vorteil bei AMOS ist, dass man nicht alle Cut-off Werte im Kopf haben muss. Das erstellte Modell wird in der Ausgabe als "Default", das bestmöglichste als "Saturated" und das schlechteste als "Independence" bezeichnet. Wir können an allen Indizes sehen, dass unser Modell den verschiedenen Gütekriterien gerecht wird. Das Ergebnis was uns aber eigentlich interessiert, sind die Korrelationen der latenten Konstrukte untereinander. Dort können wir feststellen, dass vorallem der erste und der zweite Faktor mit 0,62 sehr stark miteinander korreliert sind. Es wird von den Schülern empfunden, dass vorallem engagierte Lehrer einen praxisbezogenden Untericht gestalten. Da es sich um eine berufsbildende Schule für Sonderpädagogik handelt können wir festhalten, dass von den Schülern vorallem engagierte Lehrer die einen praxisbezogenden Unterricht halten Wert gelegt wird. Der alltagsbezogene Unterricht fördert wiederum mit einer Korrelation von 0,42 die Zufriedenheit mit der Schule. Zufriedenheit mit der Schule und Kollektivgüter der Mitschüler spielen für sich eine weitere Rolle. Man kann daraus schliessen, dass es den Schülern sehr wichtig ist, etwas aus dem Unterricht in den Alltag mitzunehmen und eventuell ihre Berufschancen zu erhöhen. Aus der deskriptiven Analyse sieht man, dass die Annedore-Leber-Schule in diesen Bereichen recht gute Bewertungen erhielt. (Zustimmung fast überall "eher ja")

Zweites Modell

In unserem zweiten Modell haben wir das Konstrukt Zufriedenheit mit der Schule als endogen angenommen, um die Regressionsgewichte der exogenen Variablen zu schätzen. Damit wollen wir herausfinden welchen Beitrag, welche Variable zur Erklärung der Varianz an Zufriedenheit mit der Schule leistet. Mit dieser Analyse kann man herausfinden an welchen Variablen man „stellen“ kann, um die Zufriedenheit der Schüler zu steigern.

Abbildung 1: Pfaddiagramm


Wenn wir die Ergebnisse der Annedorer Leber Schule auf andere Schule übertragen zu versuchen können wir vermuten, dass sich Schüler vorallem in Schulen wohlfühlen die einen praxisbezogenden Unterricht halten und in denen ein gutes Miteinander herrscht.

Den grössten Beitrag zur Erklärung der Schülerzufriedenheit leistet mit 0.29 wie wir auch erwartet haben die Alltagstauglichkeit des Unterrichts, gefolgt von der Kollektivgüte der Mitschüler mit 0.22. Das Engagement des Lehrers spielt mit 0.09 nur eine kleine Rolle bei der direkten Empfindung Zufriedenheit mit der Schule. Die Modellgüte ist fast genau gleich zum ersten Modell. Interessant wäre eine weitere Analyse, zum Beispiel an der durch die Medien bekannt gewordenen Berliner Rütli Oberschule. Wenn wir unserem Modell glauben schenken wollen, bedarf es an solchen Problemschulen mehr als nur ein paar engagierte Lehrer einzustellen. Wichtiger und effektiver ist es eher Anstrengungen darauf zu verwenden, Perspektiven aufzuzeigen (Praxisbezug des Unterrichts) und einen besseren Umgang der Schüler untereinder zu fördern. (Kollektivgüte der Mitschüler)