Lilliefors-Test

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Der Lilliefors-Test (nach H. Lilliefors) beziehungsweise Kolmogorow-Smirnow-Lilliefors-Test ist ein statistischer Test, mit dem die Häufigkeitsverteilung der Daten einer Stichprobe auf Abweichungen von der Normalverteilung untersucht werden kann.

Er basiert auf einer Modifizierung des Kolmogorow-Smirnow-Tests, bei dem es sich um einen allgemeinen Anpassungstest handelt, für den speziellen Anwendungsfall der Normalitätstestung. Damit ist er für den Test auf Normalverteilung besser geeignet als der Kolmogorow-Smirnow-Test, seine Teststärke ist jedoch geringer als die anderer Normalitätstests.

Konzept[edit]

Wie der Kolmogorow-Smirnow-Test bedient sich der Lilliefors-Test der empirischen Verteilungsfunktion, die aus den n Beobachtungen x_i (i = 1,...,n) der Zufallsvariable X ermittelt wird. Diese wird dann mit einer theoretischen Normalverteilung verglichen, deren Parameter dem Mittelwert und der Standardabweichung der Stichprobe gleichen. Anhand dieses Abstands wird die Nullhypothese überprüft, dass die Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt.

Die Tatsache, dass die Parameter der hypothetischen Verteilung aus der Stichprobe geschätzt wurden, beeinflußt jedoch den Abstand zwischen den zwei Funktionen. So wären Testentscheidungen aufgrund der kritischen Werte für den Kolmogorow-Smirnow-Test zu konservativ: Die Wahrscheinlichkeit eine richtige Nullhypothese zu verwerfen ist viel kleiner, als die Tabellen vermuten lassen. Testentscheidungen sollten sich deswegen an spezielle kritische Werte richten, die zur Zeit lediglich durch Monte-Carlo-Simulationen ermittelt werden können.

Alternativ kann die Testentscheidung mittels des p-Werts getroffen werden: Er ist umso kleiner, je größer der Abstand zwischen den zwei Funktionen ist. Ein p-Wert kleiner als 0,05 als Testergebnis ist demzufolge als statistisch signifikante Abweichung der Häufigkeitsverteilung der Stichprobe von der Normalverteilung zu interpretieren.

Zahlenbeispiel[edit]

Überprüft wird die Hypothese, dass folgende geordnete Stichprobe (n = 10) aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt:

  • 165, 175, 185, 190, 200, 205, 255, 290, 355, 545

Die Parameter der hypothetischen Normalverteilung werden dem Mittelwert der Stichprobe (m = 256,5) und deren Standardabweichung (s = 117,59) angepasst:

  • \Phi (x_i|256,5;13827,4)

Aus den Beobachtungen x_i wird die empirische Verteilungsfunktion F(x_i) ermittelt und mit der hypothetischen Verteilungsfunktion \Phi (x_i|256,5;13827,4) an den Beobachtungsstellen verglichen. Die absoluten Differenzen werden in folgender Tabelle angegeben.

i xi F(x_i) \Phi (x_i) F(x_{i-1})-\Phi (x_i) F(x_i)-\Phi (x_i)
1 165 0,100 0,218 -0,218 -0,118
2 175 0,200 0,244 -0,144 -0,044
3 185 0,300 0,272 -0,072 0,028
4 190 0,400 0,286 0,014 0,114
5 200 0,500 0,315 0,085 0,185
6 205 0,600 0,331 0,169 0,269
7 255 0,700 0,495 0,105 0,205
8 290 0,800 0,612 0,088 0,188
9 355 0,900 0,799 0,001 0,101
10 545 1,000 0,993 -0,093 0,007

Die absolut größte Differenz zwischen den Funktionen (0,269) ergibt sich an der Stelle x6. Der kritische Wert bei einem Signifikanzniveau von 5 Prozent und einem Stichprobenumfang von 10 Beobachtungen beträgt laut Lilliefors 0,258. Die Nullhypothese der Normalverteilung wird damit verworfen.

Alternative Verfahren[edit]

Alternativen zum Lilliefors-Test sind unter anderem der Shapiro-Wilk-Test und der Jarque-Bera-Test sowie die Anwendungen des Anderson-Darling-Tests oder des Cramér-von-Mises-Tests als Normalitätstests. Während er für den Test auf Normalverteilung besser geeignet ist als der Kolmogorow-Smirnow-Test, gelten insbesondere der Anderson-Darling-Test und der Shapiro-Wilk-Test hinsichtlich ihrer Teststärke als dem Lilliefors-Test überlegen. Category:Navigationsleiste Normalverteilungstests

Literatur[edit]

  • Hubert Lilliefors: On the Kolmogorov-Smirnov Test for Normality with Mean and Variance Unknown. In: Journal of the American Statistical Association. 62/1967. S. 399−402
  • Frank Massey: The Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit. In: Journal of the American Statistical Association. 46/1951. S. 68-78
  • Michael A. Stephens: EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons. In: Journal of the American Statistical Association. 69/1974. S. 730−737
  • Edith Seier: Comparison of Tests for Univariate Normality, Department of Mathematics. East Tennessee State University, 2002
  • Lilliefors Test. In: Encyclopedia of Statistical Sciences. John Wiley & Sons, 2006.

Kategorie:Nicht-Parametrischer Test