Grubbs/Beck-Test

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Template:Begriffsklärungshinweis

Von den Statistikern F.E. Grubbs und G. Beck im Jahr 1972 entwickelt[1] stellt der Grubbs/Beck-Test eine Methode zur Identifikation von Ausreißern dar. Im Gegensatz z.B. zum Grubbs-Test oder Dixon-Test stellt er jedoch nicht die Frage, ob eine einzelne Beobachtung als zur Stichprobe gehörend identifiziert werden kann, sondern betrachtet immer zwei Beobachtungen. Er wird daher auch als Test auf ein Ausreißerpaar bezeichnet.

Voraussetzungen

Der Grubbs/Beck-Test zählt in die Gruppe der Parametrischen Tests, da er die Normalverteilung der Grundgesamtheit voraussetzt. Des weiteren müssen die vorhanden Daten metrisch skaliert sein.

Hypothese

Folgende Nullhypothesen werden beim Grubbs/Beck-Test aufgestellt:

H_{0}(1) \colon \!\ x_{(1)}, x_{(2)} sind keine Ausreißer
H_{0}(n) \colon \!\ x_{(n)}, x_{(n-1)} sind keine Ausreißer

Hierbei bezeichnet x_{(1)} die kleinste, x_{(2)} die zweitkleinste und x_{(n)} und x_{(n-1)} die größte bzw. zweitgrößte Beobachtung der Stichprobe.

Teststatistik

Für die Überprüfung der H_{0}(1) und H_{0}(n) werden folgende Teststatistiken verwendet:

T_{1,2} = \frac{SQA_{1,2}} {SQA}

bzw.

T_{n,n-1} = \frac{SQA_{n, n-1}} {SQA},

wobei

SQA = \sum_{i=1}^n (x_{(i)} - \overline x)^2, \overline x = \frac{\sum_{i=1}^n x_{(i)}} {n},
SQA_{1,2} = \sum_{i=3}^n (x_{(i)} - \overline x_{1,2})^2, \overline x_{1,2} = \frac{\sum_{i=3}^n x_{(i)}} {n-2},
SQA_{n,n-1} = \sum_{i=1}^{n-2} (x_{(i)} - \overline x_{n,n-1})^2, \overline x_{n,n-1} = \frac{\sum_{i=1}^{n-2} x_{(i)}} {n-2}

Die H_{0}(1) und H_{0}(n) werden abgelehnt, wenn gilt:

T_{1,2}< \!\ s_{n;\alpha} bzw. T_{n,n-1}< \!\ s_{n;\alpha}

Hierbei bezeichnet s_{n;\alpha} den kritischen Wert auf dem Signifikanzniveau \alpha und bei einer Stichprobengröße von n.

Kritische Werte

Umfangreiche Tabellen mit kritischen Werten für den Grubbs/Beck-Test finden sich bei Grubbs und Beck (1972)[1]. Eine Auswahl dieser wird in folgender Tabelle dargestellt:[2]

n s_{n;0,05} s_{n;0,01}
5 0,018 0,004
6 0,056 0,019
7 0,102 0,044
8 0,148 0,075
9 0,191 0,108
10 0,231 0,141
12 0,300 0,204
15 0,382 0,286
20 0,480 0,391
30 0,601 0,527
40 0,672 0,610
50 0,720 0,667
100 0,833 0,802

Beispiel

Zur Veranschaulichung wird bei Hartung (2002) von folgender beobachteter Messreihe (bereits sortiert) ausgegangen:[3]

Bezeichnung der Messung x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7 x_8 x_9 x_{10} x_{11} x_{12}
Messwert (Geschwindigkeit in m/sec) 36 37 39 39 40 40 41 41 41 42 44 46

Es soll nun die Nullhypothese H_{0}(1) überprüft werden, dass die beiden kleinsten Beobachtungen keine Ausreißer sind. Für die Teststatistik ergibt sich folgender Wert:

T_{1,2} = \frac{SQA_{1,2}} {SQA} = \frac {44,1} {83} = 0,531 > 0,204 = s_{12;0,01},

sodass die Nullyhopthese nicht abgelehnt und das Beobachtungspaar mit den Werten 36 und 37 nicht als Ausreißer identifiziert werden kann.

Einzelnachweise

  1. 1.0 1.1 Grubbs, F.E.; Beck, G.: Extension of sample sizes and percentage points for significance tests of outlying observations in Technometrices, Vol. 14, S. 847-854, 1972
  2. Hartung, J.: Statistik - Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 13. Auflage, S.347, München, 2002
  3. Hartung, J.: Statistik - Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 13. Auflage, S.344, München, 2002

Kategorie:Statistik