Rotationsverfahren

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Als Rotationsverfahren oder Rotationsmethode bezeichnet man in der multivariaten Statistik eine Gruppe von Verfahren, mit denen Koordinatensysteme so lange gedreht werden können, bis sie ein zuvor definiertes Kriterium erfüllen. Die Räume, in denen sich diese Koordinatensysteme befinden, stellen keine speziellen Anforderungen. Sie sind beliebig n-dimensional, idealerweise jedoch metrisch.

Zur Verfügung stehen verschiedene Verfahren, darunter:


Grafische Rotation

Orthogonale Rotation

  • Varimax
  • Quartimax
  • Equamax
  • Biquartimax
  • Orthomax

Oblique Rotationverfahren

  • Oblimin
  • Oblimax
  • Promax
  • Biquartimax
  • Covarimin
  • Maxplane
  • Quartimin

Zielrotation


Einsatz von Rotationsverfahren[edit]

Rotationsverfahren werden oft in Verbindung mit der Faktorenanalyse oder Hauptkomponentenanalyse als Interpretationshilfe eingesetzt.

Bildlicher Vergleich: Nachdem mit der Extraktionsmethode Faktoren ermittelt wurden, welche die Varianz der Variablen aufklären, wird mit der Rotation versucht, die Faktoren den Daten "entgegen zu drehen", bis nur noch wenige Faktoren mit hoher Ladung übrig sind. Diese lassen sich dann eindeutiger hypothetischen Gesetzmäßigkeiten zuordnen, was als Interpretationshilfe bezeichnet wird.

Die Rotation erhöht den aufgeklärten Varianzanteil nicht. Sie hilft lediglich, die Faktoren inhaltlich besser zu verstehen.


Grafische Rotation[edit]

Die Anwendung einer grafischen Rotation ist schwierig sofern keine eindeutigen Cluster erkennbar sind oder die Rotation mit mehr als 3 Faktoren durchgeführt werden soll. Die Methode der grafischen Rotation fand vor allem in Zeiten, in denen noch keine Computer zur Hilfe genommen werden konnten, starke Anwendung. Heutzutage finden diese Verfahren nur noch wenig Anwendung, weil sie sehr zeitaufwendig sind, da zum Beispiel alle Faktorebenen mehrmals aufgezeichnet werden müssen. Ein Problem dieses Verfahrens ist zudem, dass es stark intuitiv und somit sehr stark subjektiv ist.


Orthogonale Rotation[edit]

Bei den orthogonalen Rotationsverfahren stehen die Achsen immer senkrecht aufeinander, wodurch die Unabhängigkeit der Achsen bzw. Faktoren gegeben ist. Um eine Streckung oder Stauchung der Faktoren zu vermeiden, werden die transformierten Faktoren normiert. Im nächsten Schritt sollen die drei gängisten Verfahren der orthogonalen Rotation vorgestellt werden.


Varimax[edit]

Als Varimax bezeichnet man eine mathematische Rechenmethode, mit der sich Koordinatensysteme in n-dimensionalen Räumen drehen lassen. Die von Henry Felix Kaiser Ende der 1950er Jahre entwickelte Methode wird überwiegend bei statistischen Verfahren eingesetzt und spielt insbesondere bei der Faktorenanalyse eine wichtige Rolle als inhaltliche Interpretationshilfe.

Bei der Anwendung in Verbindung mit der Faktorenanalyse werden die Faktoren in fortlaufenden Schritten so lange im Raum gedreht, bis die Varianz der quadrierten Ladungen pro Faktor maximal ist. Dadurch erhielt dieses Verfahren auch seinen Namen. Mittelgroße Ladungen werden also entweder geringer oder stärker und können damit eindeutiger ihren jeweiligen Faktoren zugeordnet werden. Dies bedeutet, dass versucht wird einige Variablen mit hoher Ladung auf einen Faktor zu erhalten und andere mit geringer Ladung. Dabei wird ein orthogonales Design benutzt, weil die Befürworter dieses Verfahrens davon ausgehen, dass die latenten Faktoren voneinander unabhängig sind. Bei dem Varimax-Verfahren wird versucht, jede Spalte der Ladungsmatrix zu vereinfachen. Dabei wird die Varianz der quadrierten Faktorladung maximiert. Das Kaiser-Varimax-Kriterium kann wie folgt ausgedrückt werden:


Q=-{{1} \over {d}} \sum\limits_{i=1}^n (b_i - {{1}\over {d}} \sum\limits_{j=1}^m b_j)^2


mit Q = faktorielle Komplexität und bij der der Faktorladung der i-ten Variable.Dieser Ausdruck wird bei der Varimax-Rotation minimiert.

Geometrisch gesehen werden die (orthogonalen) Koordinatenachsen gegenüber den alten Achsen im Raum verdreht, wobei der Ursprung der Achsen gleich bleibt. Aus dem Kosinus der Winkel zwischen den Faktoren und den ursprünglichen Koordinatenachsen wird die Komponententransformationsmatrix gebildet. Durch die Multiplikation dieser Matrix mit der unrotierten Faktorladungsmatrix können die rotierten Faktorladungen berechnet werden:


 \underline {K}^* = \underline L \cdot \underline T .


  • K^*: Matrix der rotierten Faktorladungen
  • L: Matrix der unrotierten Faktorladungen
  • T: Komponententransformationsmatrix


Quartimax[edit]

Dieses Verfahren kann alternativ zur Varimax- Methode angewendet werden. Dabei wird versucht die Anzahl der Faktoren für eine Variable zu minimieren. Eine 1-Faktorlösung wird angestrebt, d.h. es wird versucht die gesamte Varianz durch nur einen Faktor zu erklären. Dies ermöglicht, dass die Variablen besser interpretiert werden können. Die Quartimax- Methode wurde von mehreren Forschern unabhängig entwickelt und angewendet. Ziel dieser Methode ist es die Ladungen der Faktorladungsmatrix an 0 bzw. 1 stärker anzunähern. Dadurch kann erreicht werden, dass die Struktur der Variablen besser interpretierbar ist. Die folgende Formel zeigt das Maximierungsproblem auf:


Q = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1} b_{ij}^4


Das Verfahren erhielt seinen Namen, da es sich auf die maximierte Summe der vierten Potenzen der Faktorladungen bezieht.


Equamax[edit]

Das Equamax-Verfahren ist eine Kombination aus Varimax und Quartimax. Bei diesem Verfahren wird versucht, die Zahl der Variablen mit hohen Ladungen auf einen Faktor und auch die Zahl der Faktoren, die zur Interpretation einer Variable benötigt werden, zu minimieren.


Oblique Rotation[edit]

Bei der obliquen Rotation ist die Verletzung der Annahme, dass die Faktoren unabhängig sind, zulässig. Dies entspricht zumeist auch der Realität. Verfahren in diesem Bereich sind Quartimin, Biquartimin, Covarimin, Oblimin, Oblimax und Promax. Bei diesen Verfahren spielen Referenzachsen eine große Rolle.

Oblimin[edit]

In diesem Verfahren werden die Winkel zwischen den Faktoren über einen Parameter Delta angepasst. Ist der Delta-Wert hoch, so verringert sich die Korrelation zwischen den Faktoren, d.h. der Winkel wird größer. Ist der Delta-Wert hingegen klein, so vergrößert sich die Korrelation zwischen den Faktoren. Bei hohen negativen Delta-Werten kann es jedoch passieren, dass sich die Rotationslösung wieder der Originallösung annähert.

Das generelle Oblimin-Kriterium zeigt sich in der folgenden Gleichung:


OBMIN = \sum_{r\neq s}(n \sum_{i} b_{ir}^2 b_{is}^2 - \gamma  \sum_{i} b_{ir}^2 \sum_{i} b_{is}^2)


Für diee spezielleen Verfahren des generellen Oblimin gilt für \gamma folgendes:

  • Quartimin:\gamma = 0,0.
  • Biquartimin:\gamma = 0,5
  • Covarimin:\gamma = 1


Das direkte Oblimin-Verfahren ermöglicht eine direkte Einfachheit in der Daten-/ Faktorstruktur bei:


 min F(\Lambda) = \sum_{r\neq s}(\sum_{i}\lambda_{ir}^2 \lambda_{is}^2 - {\gamma \over n} \sum_{i}\lambda_{ir}^2 \sum_{i} \lambda_{is}^2)


mit \Lambda = A(T')^{-1}.Somit zeigt sich, das bei diesem Verfahren eine Matrix T gefunden werden muss, die den Ausdruck minimiert.

Gibt es die Bedingung der Orthogonalität, so ist dieses Verfahren gleich dem Orthomax-Verfahren, das zu den Orthogonalen Rotationsverfahren zählt.


Oblimax[edit]

Bei diesem Rotationsverfahren wird versucht die Anzahl hoher und niedriger Ladungen zu maximieren. Die Maximierung der Kurtosis der verdoppelten Faktorladungen ist dabei ein objektives Kriterium.

Für die Oblimax-Rotation muss der folgende Ausdruck (Saunders, 1961) maximiert werden:


Q = {{-(\sum\limits_i^n b_i^2)} \over { ( \sum\limits_i^n b_i)^2}}


Promax[edit]

Dieses Verfahren wird vorzugsweise bei großen Datensätzen angewendet. Dabei wird ebenfalls angestrebt, dass die Variablen möglichst hohe Ladungen auf möglichst wenig Faktoren bzw. möglichst niedrige Ladungen haben. In einer sogenannten Vorrotation findet die Varimax-Rotation Anwendung. Danach wird die rotierte rechtwinklige Ladungsmatrix mit einer Transformationsmatrix multipliziert, sodass man eine schiefwinklige Matrix als Ergebnis erhält. Um Variablen, die stark auf einen Faktor laden, höher zu gewichten, werden die Ladungen potenziert, wobei die Vorzeichen aber erhalten bleiben.


Zielrotation[edit]

Eine weitere Möglichkeit ist die Rotation mit Bezug auf eine Zielmatrix, die der Hypothese entspricht oder die der Forscher als theoretische Grundlage nutzt. Wenn der Forscher alle exakten Faktorladungen zur Verfügung hat, so kann er durch Rotation versuchen, die Matrizen möglichst stark anzunähern, sodass sie dem Least-Square-Kriterium genügen.


Literatur[edit]

  • Kaiser, H. F.: The varimax criterion for analytic rotation in factor analysis in: Psychometrika Nr.23, 187-200, 1958
  • Kaiser, H. F.: Computer program for varimax rotation in factor analysis in: Educational and Psychological Measurement Nr.19, 413-420, 1959
  • Schiller W.: Vom sinnvollen Aufwand in der Faktorenanalyse in: Archiv für Psychologie Nr.140, 73-95, 1988 (u.a. Vergleich verschiedener Rotationsverfahren)
  • Lewis-Beck, M.S. (Editor): Factor Analysis and Related Techniques, 97-108, 1994 (englisch)
  • Schendera, Ch.FG : Clusteranalyse in SPSS: mit Faktoranalyse, 206-207, 2010
  • Eckey, H.-.; Kosfeld, R.; Rengers, M.: Multivariate Statistik: Grundlagen, Methoden, Beispiele, 53-55, 2002
  • Grasman, R.; Huizenga, H.M.; Waldorp, L.J.; Molenaar, P.C.M.: Optimizing Interpretation in Averaging Kernels for the Neuroelectromagnetic Inverse Problem, in: IEEE Transactions on Biomedical Engeneering, 2004

Kategorie:Multivariate Statistik

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