Odds

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Odds stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eine Möglichkeit dar, Wahrscheinlichkeiten anzugeben.In der Statistik können mit Odds Anteilswerte in Kreuztabellen ausgedrückt und verglichen werden.

Allgemeine theoretische Überlegungen[edit]

Mathematisch berechnen sich Odds als Quotienten aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt und der Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt (Gegenwahrscheinlichkeit):

R(A) = {P(A) \over {1-P(A)}}

oder

Odds = Häufigkeit Ereignis/Häufigkeit Gegenereignis
.

Dabei ist R der Wert des Odds und P die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt. Ist der Wert eines Odds eins, dann ist dies mit einer 50:50-Chance identisch. Werte größer als eins drücken aus, dass die Wahrscheinlichkeit im Zähler den größeren Wert aufweist, während Werte kleiner eins bedeuten, dass diejenige im Nenner größer ist.

Kennt man die Wahrscheinlichkeiten, so kennt man also die Odds und umgekehrt, so dass die Einführung von Odds in gewisser Weise überflüssig erscheint. Aber auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es Probleme, bei deren Lösung Odds eine wichtigere und natürlichere Rolle spielen als die Wahrscheinlichkeiten selbst, wie zum Beispiel in der Odds-Strategie zur Berechnung optimaler Entscheidungsstrategien.

In der Statistik verwendet man den sogenannten/das sogenannte Odds Ratio (Verhältnis von Odds oder relative Chance), um den Unterschied zweier Odds zu bewerten und damit Aussagen über die Stärke von Zusammenhängen zu machen. Bei einem Odds-Ratio geht allerdings die eindeutige Beziehung zwischen Odds und Wahrscheinlichkeiten verloren.

Berechnung[edit]

Die allgemeine Struktur einer Vierfeldertabelle oder auch Kreuztabelle stellt sich folgendermaßen dar:

Kreuztabelle
x1 x2
y1 f11 f12
y2 f21 f22


Für die Variable Y lassen sich nun zwei Odds berechnen, einmal für x1 und einmal für x2:

Oddsx1=f11/f21
Oddsx2=f12/f22

Interpretation[edit]

Die Ergebnisse der Odds können in drei Gruppen unterteilt werden (gilt auch für Oddsx2):

  • Oddsx1= 1
 *Die Häufigkeiten in f11 und f21 sind gleich groß
 *Das Größenverhältnis ist ausgewogen
  • Oddsx1< 1
 *Die Ausprägungen von f21 überwiegen gegenüber denjenigen von f11
 *Das Größenverhältnis ist ungleich
 *Der minimale Wert ist Null, der maximale 1 [0; <1]
  • Oddsx1> 1
 *Die Ausprägungen von f11 überwiegen gegenüber denjenigen von f21
 *Das Größenverhältnis ist ungleich
 *Der minimale Wert ist größer als 1, der maximale Wert geht gegen unendlich [>1; +∞][1]

Das Problem hier ist, dass die Größe der Odds abhängig von der Kodierung ist (die Gruppierung in zwei Gruppen erfolgt mehr oder weniger willkürlich) und bei nominalskalierten Variablen gibt es für die Reihenfolge keine zwingende Vorgabe.

Um die beiden Odds vergleichbar zu machen berechnet man jeweils den natürlichen Logarithmus: ln(Odds). ln(Odds) steht für Logit. Logits haben den Vorteil, dass die Variationsbereiche gleich groß und symmetrisch zu Null sind. Odds kleiner als Eins erhalten ein negatives Vorzeichen, Odds größer als Eins erhalten bei Logits ein positives Vorzeichen. Die Logits unterscheiden sich bei reziproken Größenverhältnissen nur durch das Vorzeichen.

Das Verhältnis der Odds ist das Odds Ratio (OR). Erst das Odds Ratio gibt die Stärke des Zusammenhangs in einer Zahl an.(--> siehe Hauptartikel)


Beispiel[edit]

Die Formeln werden im Folgenden anhand eines fiktiven Beispiels mit empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeiten (ausgedrückt als Prozentwerte) erläutert:

Übergewicht in Abhängigkeit vom Geschlecht Frauen Männer ALLE
Kein Übergewicht 60 % 30 % 45 %
Übergewicht 40 % 70 % 55 %
N 100% 100% 100%

Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit von Frauen, kein Übergewicht zu haben, als P(A), und die entsprechende Wahrscheinlichkeit der Männer als P(B). Die Odds, dass eine Frau kein Übergewicht hat, betragen also 60:40 oder 1,5, bei einem Mann betragen Sie dagegen nur 30:70 oder 0,43.

Die Odds Ratio beträgt im Beispiel 1,5 : 0,43 = 3,5. D. h., die Chancen von Frauen, nicht übergewichtig zu sein, sind 3,5 mal so groß wie die von Männern. Die Odds Ratio kann daher als Zusammenhangsmaß aufgefasst werden.

Hier wurde absichtlich ein (fiktives) Beispiel mit medizinischem oder epidemiologischem Hintergrund gewählt, weil gerade in diesem Bereich das Denken in Odds und Odds Ratios, also in (relativen) Chancen (auch wenn dahinter häufig Risiken, z. B. auf Tod durch Herzinfarkt, durch Krebs usw. stehen), stark ausgeprägt ist. Tatsächlich spielt die Odds Ratio inzwischen auch in anderen sozialwissenschaftlichen Disziplinen eine wichtige Rolle, vor allem in Zusammenhang mit der logistischen Regression.

Odds und Odds Ratios lassen sich immer nur in Bezug auf zwei Ausprägungen ausdrücken. In größeren als 2x2-Tabellen können dementsprechend mehrere Odds und Odds Ratios berechnet werden.


Wetten[edit]

Im Zusammenhang mit Wetten, insbesondere mit Sportwetten, wird der englische Begriff Odds oft mit Wett-, Sieg- oder Gewinnquote oder kurz Quote übersetzt. Odds stellen seit langem die übliche Weise von Buchmachern dar, Wahrscheinlichkeiten anzugeben. Davon leitet sich auch die Bezeichnung der deutschen Sportwette Oddset ab. Die Darstellung der Odds im Wettgeschäft variiert je nach Standort (siehe auch Artikel Gewinnquote)

  • Beispiel 1: Betrachtet man ein Ereignis mit der Eintrittswahrscheinlichkeit von 1 aus 5 (also 0,2 oder 20%), dann sind die Odds 0,2/(1−0,2) = 0,2/0,8 = 0,25. Bei Einsatz von 0,25 in einer fairen Wette und Eintritt des Ereignisses beträgt der Gewinn 1; bei einem Einsatz von 1 beträgt der Gewinn somit 4, außerdem wird der Einsatz von 1 zurückgezahlt. Ein Buchmacher in Kontinentaleuropa gibt hierfür 5,0 an. Der zurückzuzahlende Einsatz von 1 ist hier bereits in der Auszahlung enthalten, man nennt dies auch die Bruttoquote. Ein britischer Buchmacher schreibt 4 zu 1 gegen (oder 4/1), da der Reingewinn ja nur das Vierfache des Einsatzes beträgt, britische Buchmacher geben grundsätzlich die Nettoquoten an (zumeist in Bruchdarstellung), ein amerikanischer Buchmacher gibt mit +400 den Gewinn aus einem Einsatz von 100 an.
  • Beispiel 2: Beträgt dagegen die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses 4 aus 5 (also 0,8 oder 80%), dann sind die Odds 0,8/(1−0,8) = 4. Bei Einsatz von 4 in einer fairen Wette und Eintritt des Ereignisses beträgt der Gewinn 1, dazu wird der Einsatz von 4 zurückgezahlt. Ein Buchmacher in Kontinentaleuropa gibt hierfür 1,25 an, der Einsatz ist hier in der Auszahlung bereits enthalten. Ein britischer Buchmacher schreibt 4 zu 1 für (oder 1/4), ein amerikanischer Buchmacher gibt mit −400 den notwendigen Einsatz an, um 100 Gewinn zu erzielen.

In der obigen Berechnung wird davon ausgegangen, dass die Verteilung der Wetteinsätze den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten entspricht. In Wirklichkeit versucht der Buchmacher aber eher, das Wettverhalten vorauszusagen, weil er, wenn er das richtig voraussagt, auf jeden Fall die vorher festgelegte Buchmacher-Marge kassiert und somit unnötiges Risiko vermeidet. Statt der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis verwendet er daher die wahrscheinlichen Wetteinsätze auf dieses Ereignis, um die Quote zu berechnen.

Siehe auch[edit]

Einzelnachweise[edit]

  1. Uwe W. Gehring; Cornelia Weins: Grundkurs Statistik für Politologen und Soziologen. VS Verlag 2009.

Literatur[edit]

  • F. Thomas Bruss: Die Kunst der richtigen Entscheidung. In: Spektrum der Wissenschaft. 06/2005. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, S. 78–84, ISSN 0170-2971
  • Fahrmeir, Ludwig; Künstler, Rita; Pigeot, Iris; Tutz, Gerhard: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. Heidelberg u.a.: Springer, 4. Auflage 2003, Kapitel 3.2.1.
  • Uwe W. Gehring; Cornelia Weins: Grundkurs Statistik für Politologen und Soziologen. VS Verlag 2009.
  • Uwe Wagschal: Statistik für Politkwissenschaftler. Oldenbourg München 1999.
  • Volker Müller-Benedict: Grundkurs Statistik in den Sozialwissenschaften. VS Verlag 2006.
  • Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Güllicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. Vahlen 2008.


Weblinks[edit]

Kategorie:Sportstatistik Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Kategorie:Stochastik Kategorie:Wetten Kategorie:Wirtschafts- und Sozialstatistik

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