Ausreißertests

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Wenn bei der Exploration von Daten ein Beobachtungswert identifiziert wird, der unerwartet stark von den übrigen Werten abweicht, wird in der Regel mittels eines Ausreißertests statistisch geprüft, ob, bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich dabei tatsächlich um einen Ausreißer handelt.

Ausreißertests werden außerdem genutzt, um routinemäßig die Zuverlässigkeit von Daten zu kontrollieren oder rechtzeitig gewarnt zu werden, falls Probleme bei der Datengewinnung auftreten.

Allgemeine Voraussetzungen:

Alle Ausreißertests setzen voraus, dass das Merkmal in der Grundgesamtheit normalverteilt ist und testen, ob einer oder mehrere der Extremwerte nicht aus dieser Normalverteilung stammen. Die Annahme der Normalverteilung muss vorher durch einen Test der Stichprobe auf Normalverteilung überprüft werden, zum Beispiel mit dem Kolmogorow-Smirnow-Test, dem Jarque-Bera-Test oder dem Chi-Quadrat-Test. Außerdem müssen die Daten sortiert vorliegen.

Probleme[edit]

Zwei Probleme treten bei Ausreißertest auf:

  • Ob die Grundgesamtheit einer hypothetischen Normalverteilung folgt, ist in der Regel nicht bekannt. Aussagen können nur aufgrund der vorhandenen Stichprobe getroffen werden. Enthält diese jedoch Ausreißer, so kann es passieren, dass die Annahme der Normalverteilung aufgrund des Ausreißers verworfen wird. Besonders bei kleinen Stichproben ist dies eine Gefahr. In diesem Fall sollte der potentielle Ausreißer ausgeschlossen und eine Prüfung auf Normalverteilung erneut durchgeführt werden. Ist die Stichprobe ohne den Wert normalverteilt, so kann ein Ausreißertest durchgeführt werden.
  • Die kritischen Werte für Ausreißertests finden sich in Form von Tabellen selten in den Standardwerken der Statistik und sind dadurch oft nur mit Aufwand zugänglich.

Anwendungsbereiche[edit]

Welcher Ausreißertest geeignet ist, hängt von der Größe der Stichprobe und der Anzahl der ausreißerverdächtigen Werte ab.

Darstellung zur Auswahl des geeigneten Tests
  • Einer der Extremwerte ist ausreißerverdächtig:

Der David-Hartley-Pearson Test berücksichtigt die Streuung und die Spannweite der vorliegenden Daten und vergleicht diese mit der Normalverteilung, der Grubbs Test kontrolliert den Abstand der Extremwerte zum Mittelwert. Bei kleineren Stichproben  n<29 \ sollte der Nalimov Test angewandt werden, der eine Variation des Grubbs Tests ist.

  • Mehrere Werte sind ausreißerverdächtig:

Der Grubbs-Beck Test testet, ob ein Ausreißerpaar vorliegt, also die beiden größten oder beiden kleinsten Werte Ausreißer sind. Der Dixon Test schließt einzelne Extremwerte bei der Berechnung aus und berücksichtigt so das Problem der "Maskierung" durch mehrere nahe beieinander liegende potentielle Ausreißer.

Ausreißertest nach David-Hartley-Pearson[edit]

Der Ausreißertest nach David-Hartley-Pearson (David-Hartley-Pearson Test) ist ein Test, der prüft, ob es sich bei den Extremwerten, also dem kleinsten x_{(1)} \ , beziehungsweise dem größten Wert x_{(n)} \ einer univariaten Stichprobe um einen Ausreißer handelt. Der Test überprüft, ob die Spannweite der Einzelwerte hinsichtlich deren Standardabweichung größer ist als bei der Normalverteilung. Ist die Spannweite im Verhältnis zur Streuung "zu groß", so wird der Wert als Ausreißer identifiziert.

Hypothesen und Teststatistik[edit]

Die Nullhypothese des Tests ist, dass es sich bei dem größten bzw. kleinsten Wert der Stichprobe nicht um Ausreißer handelt. Die Alternativhypothese ist entsprechend, dass es sich um Ausreißer handelt.

Nullhypothese:  H_0: \ x_{(1)} \ oder  x_{(n)} \  sind keine Ausreißer
Alternativhypothese:  H_1: \ x_{(1)} \  oder   x_{(n)} \  ist ein Ausreißer

Die Teststatistik ist:

 V_{}^{} = \frac{R}{s}= \frac{x_{(n)} -x_{(1)}}{\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\bar{X})^2}},

worin R \ die Spannweite (Range)  R=x_{(n)} -x_{(1)} \ , s \ die Standardabweichung  s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\bar{X})^2} und \overline{X} das arithmetische Mittel \bar{X} = \frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_{i} der Stichprobe sind.

Kritische Werte finden sich in David et al (1954). Die Alternativhypothese  H_1 \ wird mit einem vorgegebenen Signifikanzniveau  \alpha \ angenommen, wenn  V<Q_{n;\,\alpha/2}^{} oder V>Q_{n;\,1-\alpha/2}^{}, wobei Q_{n;\,\alpha/2} der untere kritische Wert (lower percentage point) und Q_{n;\,1-\alpha/2} der obere kritische Wert (upper percentage point) des David-Hartley-Pearson-Tests zum vorgegebenen Signifikanzniveau {\alpha} \ und gegebenem Stichprobenumfang  n \ sind.

Wird die Alternativhypothese angenommen, so wird  x_{(1)} \ oder  x_{(n)} \ als Ausreißer identifiziert, je nachdem welcher Wert weiter vom arithmetischen Mittel \overline{X} entfernt ist. Bei gleich weiter Entfernung werden beide Extremwerte als Ausreißer betrachtet.

Beispiel[edit]

Eine Sportlerin unterzieht sich über einen längeren Zeitraum hinweg regelmäßigen Bluttests, die eventuelles Doping nachweisen sollen. Dabei wird in 60 Fällen der Anteil der Retikulozyten im Blut gemessen. Bei einem besonders hohen (Ausreißer-)Anteil von Retikulozyten im Blut, besteht Dopingverdacht.

Die folgende Tabelle enthält die für den David-Hartley-Pearson Test nötigen Angaben.

N Minimum (x_{(1)}) \ Maximum  (x_{(60)} ) \ Standardabweichung
60 1,07 3,94 1,42

Nun soll mittels des David-Hartley- Pearson Tests auf dem Signifikanzniveau von  \alpha= 0,1 \ geprüft werden, ob es sich bei den Extremwerten statistisch gesehen um Ausreißer handelt und so ein Dopingverdacht gerechtfertigt ist.

Die Teststatistik wird wie folgt berechnet:

V=\frac{3,94-1,07}{1,42}= 2,02

Da 2,02<Q_{60;0,05} \ wird die Alternativhypothese, dass  x_{(1)} \ oder  x_{(60)} \ kein Ausreißer ist, angenommen. Der David-Hartley-Pearson Test liefert also keinen Verdacht für Doping aufgrund der vorliegenden Blutwerte.

Ausreißertest nach Grubbs[edit]

Der Ausreißertest nach Grubbs (Grubbs Test) ist ein Test, der prüft, ob es sich bei den Extremwerten, also dem kleinsten x_{(1)} \ , beziehungsweise dem größten Wert x_{(n)} \ einer univariaten Stichprobe um einen Ausreißer handelt. Die Teststatistiken setzen die Distanz zwischen den Extremwerten und dem arithmetischen Mittel der Stichprobe ins Verhältnis zu der Standardabweichung der Stichprobe. Dies wird mit dem Verhältnis in der Normalverteilung verglichen. Ist die Distanz im Verhältnis zur Streuung "zu groß", so wird der Wert als Ausreißer identifiziert.

Hypothesen und Teststatistik[edit]

Die Nullhypothesen des Tests sind, dass es sich bei dem größten bzw. kleinsten Wert der Stichprobe nicht um Ausreißer handelt. Die Alternativhypothesen sind entsprechend, dass es sich um Ausreißer handelt.

Nullhypothesen:  H_0: \ x_{(1)} \ ist kein Ausreißer bzw.  H_0: \ x_{(n)} \  ist kein Ausreißer
Alternativhypothesen:  H_1: \ x_{(1)} \  ist ein Ausreißer bzw.  H_1: \ x_{(n)} \  ist kein Ausreißer


Aus der Stichprobe werden die Teststatistiken wie folgt berechnet:

V_1=\frac{\bar{X}-{X_1}}{s} und V_n=\frac{X_n-\bar{X}}{s}

Dabei bezeichnet \bar{X} \ das arithmetische Mittel \bar{X} = \frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_{i} und s \ die Standardabweichung der Stichprobe s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i}-\bar{X})^2} .

Unter der Nullhypothese, dass keine Ausreißer vorhanden sind, besitzt V\; eine Verteilung, die näherungsweise als Funktion einer t-Verteilung dargestellt werden kann:

V_{n;\alpha}= \frac{n-1}{\sqrt n} \sqrt{\frac{t^2_{\frac{\alpha}{2n},n-2}}{n-2+t^2_{\frac{\alpha}{2n},n-2}}}

Dabei bezeichnet t_{\alpha,m}\; allgemein den kritischen Wert einer t-Verteilung mit m \ Freiheitsgraden zum Niveau \alpha \ . Eine Tabelle der kritischen Werte findet sich auch bei Grubbs/Beck (1972). Konsequenterweise wird  H_1 \ zum Signifikanzniveau \alpha\; angenommen, falls V_1 > V_{n;\alpha} \ bzw.  V_n > V_{n;\alpha} \ gilt.

Sofern der Test tatsächlich einen Ausreißer entdeckt, wird der fragliche Wert aus der Stichprobe entfernt. Ein neuer Grubbs-Test wird nun mit dem verbleibenden Extremwert  x_2 \ bzw.  x_n-1 \ durchgeführt. Dieses iterative Verfahren wird so lange durchgeführt, bis mit Hilfe des Tests keine Ausreißer mehr entdeckt werden können.

Beispiel[edit]

Bei der Erhebung von Klimadaten für Berlin innerhalb von zehn aufeinanderfolgenden Tagen sind 58 Werte in Celsius gemessen worden. Die folgende Tabelle zeigt die für die Berechnung des Grubbs Tests benötigten Angaben.

N Minimum (x_{(1)}) \ Maximum  (x_{(58)} ) \ Arithmetisches Mittel Standardabweichung
58 10 20 12 2

Mittels des Grubbs Tests soll auf einem Signifikanzniveau von  \alpha= 0,05 \ geprüft werden, ob es sich bei den Extremwerten um Ausreißer handelt. Die Nullhypothesen lauten, dass  x_{(58)} \ bzw.  x_{(1)} \ kein Ausreißer ist.

Die Teststatistiken werden wie folgt berechnet:

V_n=\frac{20-12}{2}= 4 bzw. V_1=\frac{12-10}{2}= 1

Bei Grubbs/Beck (1972) findet man für das Signifikanzniveau  \alpha=0,05 \ und  N=58 \ den kritischen Wert  V_{58;0,05}=3,013 \

Die Alternativhypothese, dass  x_{(58)} \ kein Ausreißer ist, wird somit auf dem  \alpha=5% \ angenommen, da  V_n>V_{58;0,05} \ . Der Wert wird als Ausreißer identifiziert.

Die Alternativhypothese, dass  x_{(1)} \ kein Ausreißer ist, wird abgelehnt, da  V_1<V_{58;0,05} \ . Der Wert wird nicht als Ausreißer identifiziert.

Varianten[edit]

Einseitiger Grubbs Test[edit]

Eine Variante des Grubbs-Tests besteht darin, nur Ausreißer nach oben oder nach unten entdecken zu wollen. Dies wird dadurch realisiert, dass man nur den größten x_{(n)} \ oder nur den kleinsten Wert x_{(1)} \ betrachtet und den kritischen Wert der Teststatistik von t_{\frac{\alpha}{2n},n-2} auf t_{\frac{\alpha}{n},n-2} anpasst.

Ausreißertest nach Nalimov[edit]

Der Ausreißertest nach Nalimov (Nalimov Test) korrigiert die Teststatistik des Grubbs Tests mit einem vom Stichprobenumfang abhängigen Korrekturfaktor  \sqrt{\frac{n}{n-1}} \ . Er ist bei kleinen Stichproben (ca. n<30) dem Grubbs Test vorzuziehen, bei großen Stichproben wirkt sich der Korrekturfaktor kaum aus.

Die Hypothesen sind wie beim Grubbs Test.

Aus der Stichprobe werden die Teststatistiken wie folgt berechnet:

V_1=\frac{\bar{X}-X_1}{s}\sqrt{\frac{n}{n-1}} bzw. V_n=\frac{X_n-\bar{X}}{s}\sqrt{\frac{n}{n-1}}.

Kritische Werte  V_{f;\alpha} \ finden sich in unter anderem bei Kaiser Gottschalk (1972), wobei  f \ für die Freiheitsgrade steht, die sich aus f=n-2\ ergeben und  \alpha \ das Signifikanzniveau angibt.  H_0 \ wird zum Signifikanzniveau \alpha\; abgelehnt, falls V_1 > V_{f;\alpha} \ bzw.  V_n > V_{f;\alpha} \ gilt.

Beispiel[edit]

Bei einer Titration wurden folgende Werte als Massenkonzentration in Prozent ermittelt:

x_{(1)}=29,43 \ ;  x_{(2)}=30,02 \ ;  x_{(3)}=30,42\ ;  x_{(4)}=30,52\

Nun besteht der Verdacht, dass der Messwert  x_{(1)}=29,43 \ einen Ausreißer darstellt. Folgende Werte werden errechnet:  n=4; \bar{X}=30,1; s=0,4947 \

Anhand der Werte wird die Teststatistik berechnet: V_1=\frac{29,43-30,1}{0,4947}\sqrt{\frac{4}{4-1}}=1,5639 Aus der Tabelle entnimmt man den kritischen Wert V_{2;0,05}=1,645 \

Da  V_1<V_{2;0,05}\ wird die Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von  \alpha=0,05 \ nicht verworfen und der Werte wird nicht als Ausreißer identifiziert. (Beispiel aus Hubelt 1996 p. 703)

Ausreißertest nach Grubbs-Beck[edit]

Der Ausreißertest nach Grubbs-Beck (Grubbs-Beck Test) ist ein Test, der prüft, ob es in der Stichprobe ein Ausreißerpaar gibt. Er testet, ob die beiden kleinsten  (x_{(1)}, x_{(2)}) \ bzw. die beiden größten Werte  (x_{(n)}, x_{(n-1)}) \ einer univariaten Stichprobe Ausreißer sind.

Die Nullhypothesen des Tests sind, dass es sich bei den beiden größten bzw. kleinsten Werten der Stichprobe nicht um Ausreißer handelt. Die Alternativhypothesen sind entsprechend, dass es sich um Ausreißer handelt.

Nullhypothesen:  H_0: \ x_{(1)}\ und  x_{(2)} \ sind keine Ausreißer bzw. H_0: \ x_{(n)} \ und  x_{(n-1)} \ sind keine Ausreißer
Alternativhypothesen:  H_1: \ x_{(1)}\ und  x_{(2)} \ sind Ausreißer bzw. H_1: \ x_{(n)} \ und  x_{(n-1)} \ sind Ausreißer

Die Teststatistiken setzen die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ohne das Ausreißerpaar (SQA_{1,2} \ bzw.  SQA_{n,n-1}  \ ) ins Verhältnis zur Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert inklusive des Ausreißerpaars  (SQA) \ .

Die Teststatistiken sind:  V_{1,2}=\frac{SQA_{1,2}}{SQA} bzw.  V_{n,n-1}=\frac{SQA_{n,n-1}}{SQA}

Darin sind:

  • SQA_{}^{} - die Summe der quadratischen Abweichungen aller Beobachtungswerte zum zugehörigen arithmetischen Mittel \overline{X}:
SQA = \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^2 \qquad \qquad \qquad \qquad
      \overline{X} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}
  • SQA_{1,2}^{} - die Summe der quadratischen Abweichungen zum zugehörigen arithmetischen Mittel \overline{X}_{1,2} bei Ausschluss der beiden kleinsten Beobachtungswerte X_{1} \ und X_{2} \ :
SQA_{1,2} = \sum_{i=3}^{n}(X_{i} - \overline{X}_{1,2})^2 \qquad \qquad \qquad
         \overline{X}_{1,2} = \frac{\displaystyle\sum_{i=3}^{n}X_{i}}{n - 2}
  • SQA_{n;n-1}^{} - die Summe der quadratischen Abweichung zum zugehörigen arithmetischen Mittel \overline{X}_{n,n-1} bei Ausschluss der beiden größten Beobachtungswerte X_{n} \ und X_{n-1} \ :
SQA_{n,n-1} = \sum_{i=1}^{n-2}(X_{i} - \overline{X}_{n,n-1})^2 \qquad \qquad
       \overline{X}_{n,n-1} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}X_{i}}{n - 2}

Da durch den Ausschluss der beiden potentiellen Ausreißer die Summe der quadrierten Abweichungen im Zähler der Teststatistik kleiner sein sollte, als im Nenner, führen kleine Werte zur Ablehnung der Nullhypothesen.

Deshalb wird die Nullhypothese verworfen, falls V_{1,2} < V_{n;\alpha}^{} bzw. V_{n,n-1} < V_{n;\alpha}^{}, wobei V_{n;\alpha}^{} ein kritischer Wert des Grubbs-Beck Tests zum vorgegebenen Signifikanzniveau {\alpha} \ und gegebenen Stichprobenumfang n ist. Kritische Werte finden sich bei Grubbs/Beck (1972).

Beispiel[edit]

Folgende 49 Geschwindigkeiten wurden gemessen:

2751,0 2773,9 2739,7 2743,5 2766,3 2747,3 2754,8
2728,5 2758,6 2747,3 2766,3 2781,6 2770,1 2724,8
2732,2 2754,8 2751,0 2773,9 2762,4 2747,3 2781,6
2751,0 2754,8 2743,5 2770,1 2766,3 2754,8 2785,5
2758,6 2724,8 2754,8 2754,8 2758,6 2747,3 2777,8
2739,7 2736,0 2773,90 2793,3 2766,3 2754,8 2770,1
2724,8 2754,8 2770,1 2758,6 2777,8 2773,9 2747,3

Nun soll getestet werden, ob die beiden höchsten Geschwindigkeiten, 2785,5 und 2793,3 statistisch "zu groß" für die Stichprobe sind und deshalb als Ausreißer identifiziert werden können.

Folgende Werte werden berechnet:  SQA=12977,5 \ ,  SQA_{48,49}=10780,3 \

Daraus ergibt sich folgende Teststatistik:  V_{48,49}=\frac{10780,3}{12977,5}=0,831 \

Bei Grubbs/Beck (1972) findet sich für ein Signifikanzniveau  \alpha=0,05 \ der Wert  V_{49;0,05}=0,7163 \ . Da  V_{48,49} > V_{49;0,05} \ , wird die Alternativhypothese auf einem Signifikanzniveau von  \alpha=0,05 \ nicht abgelehnt und die beiden Werte werden nicht als Ausreißer identifiziert. (Beispiel aus Grubbs/Beck 1972)

Ausreißertest nach Dixon[edit]

Der Ausreißertest nach Dixon prüft, ob es sich bei dem kleinsten  x_{(1)} \ beziehungsweise dem größten Werte  x_{(n)} \ einer Stichprobe um Ausreißer handelt.

Im Gegensatz zum Grubbs Test und zum Nalimov Test berücksichtigt der Dixon Test das Problem der "Maskierung".

Wenn beispielsweise zwei sehr große Werte als Ausreißer identifiziert werden, die nahe beieinander liegen, so wird auch der zweitgrößte Wert in die Teststatistik einbezogen. Dies soll verhindern, dass diese beiden Werte die Streuung und den Mittelwert an sich heranziehen und somit nicht als Ausreißer erkannt werden.

Voraussetzungen[edit]

Neben der Voraussetzung der Normalverteilung müssen vor Durchführung des Tests, alle potentiellen Ausreißer identifiziert werden. Dies kann beispielsweise durch graphische Methoden geschehen.

Hypothesen und Teststatistik[edit]

Die Nullhypothesen des Tests sind, dass es sich bei dem größten bzw. kleinsten Wert der Stichprobe nicht um Ausreißer handelt. Die Alternativhypothesen sind entsprechend, dass es sich um Ausreißer handelt.

Nullhypothesen:  H_0: \ x_{(1)} \ ist kein Ausreißer bzw.  H_0: \ x_{(n)} \  ist kein Ausreißer
Alternativhypothesen:  H_1: \ x_{(1)} \  ist ein Ausreißer bzw.  H_1: \ x_{(n)} \  ist kein Ausreißer

Aus der Stichprobe werden die Teststatistiken errechnet:


V_{k,g}(1)=\frac{x_{(1+k)}-x_{(1)}}{x_{(n-g)}-x_{(1)}} und V_{g,k}(n)=\frac{x_{(n)}-x_{(n-g)}}{x_{(n)}-x_{(1+k)}} mit  k= 0,1,2 \ ; g=0,1,2 \

hierbei bezeichnen  k \ und  g \ die Anzahl der kleinsten bzw. größten Werte, die als potentielle Ausreißer identifiziert wurden. Die Teststatistik hängt also davon ab, wie viele Werte verdächtigt werden, Ausreißer zu sein.

Bei Dixon (1951) finden sich Werte für einen Stichprobenumfang bis  n=30 \ . Die Alternativhypothese  H_1 \ wird angenommen, falls  V_{k,g}(1)>V_{kg,n,a} \ bzw.  V_{g,k}(n)>V_{gk,n,a} \ .

Beispiel[edit]

Wenn aufgrund graphischer Analyse der kleinste und die beiden größten Werte als potentielle Ausreißer identifiziert wurden, so sind  k=1 \ und  g=2 \ . Die Teststatistiken lauten dann:

V_{1,2}(1)=\frac{x_{(2)}-x_{(1)}}{x_{(n-2)}-x_{(1)}} und V_{2,1}(n)=\frac{x_{(n)}-x_{(n-2)}}{x_{(n)}-x_{(2)}}

Die kritischen Werte  V_{kg,n,a} \ bzw.  V_{gk,n,a} \ , für einen Stichprobenumfang  n \ und ein Signifikanzniveau  \alpha , werden aus entsprechenden Tabellen abgelesen.

Einzelnachweise[edit]

David-Hartley-Pearson Test:
  • David, H.A.; Hartley; H.O., Pearson; E.S. (1954): The distribution of the ratio, in a single normal sample, of range to standard deviation, Biometrika, vol. 41, p. 491.
Grubbs/Grubbs-Beck Test:
  • Grubbs, F.E.(1950): Sample Criteria for Testing Outlying Observations. Annals of Mathematical Statistics, Vol. 21, No. 1, pp. 27-58.
  • Grubbs, F. E.(1969):Procedures for detecting outlying observations in samples, Technometrics 11(1):pp. 1–21.
  • Grubbs, F.E.; Beck, G. (1972): Critical values for six Dixon tests for outliers in normal samples up to sizes 100, and applications in science and engineering, Technometrics, Vol. 14, No. 4, p. 848.
  • Croarkin, C.; Tobias, P. (Hrsg.) NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Siehe besonders Kapitel 1.3.5.17. Grubbs' Test for Outliers.
  • DIN 53 804 Teil 1 Statistische Auswertungen - Meßbare (kontinuierliche) Merkmale Abs. 8.2 Ausreißertest nach Grubbs, September 1981.
  • DIN ISO 5725 Teil 2, Genauigkeit (Richtigkeit und Präzision) von Meßverfahren und Meßergebnissen - Ein grundlegendes Verfahren für die Ermittlung der Wiederhol- und Vergleichpräzision von festgelegten Meßverfahren, Abs. 14.4 Grubbs' test, Entwurf Februar 1991.
Nalimov Test:
  • Hubel, M.(1996): Beispiel: Laborpraxis. Einführung, allgemeine Methoden, Band 1.
  • Lozán, J. L.; Kausch, H.(1998) Angewandte Statistik für Naturwissenschaftler, - Parey Buchverlag Berlin.
  • Kaiser, R.; Gottschalk, T. (1972): Elementare Tests zur Beurteilung von Messdaten Bibliographisches Institut, Mannheim.
Dixon Test:
  • Dixon, W.J. (1950): Analysis of extreme values: Annals of Mathematical Statistics, 21(4), 488–506.
  • Dixon, W.J. (1951): Ratios involving extreme values: Annals of Mathematical Statistics, 22(1), 68–78.

Literatur[edit]

Kategorie:Statistik

Weblinks[edit]

Kritische Werte für den David-Hartley-Pearson Test
Kritische Werte für den Grubbs Test
Kritische Werte für den Grubbs-Beck Test
Kritische Werte für den Nalimov Test
Kritische Werte für den Dixon Test