T-Verteilung

Aus StatWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Rlogo.png

Schreibweise X\sim t_f mit f \in \mathbb{N}
Ableitung Ist definiert als Quotient von Z\sim N(0;1) und Y \sim \chi^2_f, X = \frac{Z}{\sqrt{Y/f}} \sim t_f
Dichtefunktion f(x)=\frac{\Gamma(\frac{f+1}{2})}{\Gamma(f/2)\sqrt{f\pi}} (1+\frac{x^2}{f})^{-(f+1)/2} mit \Gamma(x)_{}^{} die Gamma-Funktion
Verteilungsfunktion F(x) ist nicht elementar darstellbar
Erwartungswert E(X)=0 für f>1
Varianz Var(X)=\frac{f}{f-2} für f>2
Quantilsfunktion F^{-1}(p) ist nicht elementar darstellbar, siehe Tabelle unten
Median x_{0,5}=0
Modus x_D=0
Moment(e) M_1(0)=0 für f>1
Zentrale(s) Moment(e) m_r=\begin{cases}f^{r/2}\frac{1\times3\times ...\times (r-1)}{(f-r)(f-r-2)...(f-2)} & \mbox{ wenn } r=2k\\ 
0 & \mbox{ wenn } r=2k+1 \\
\mbox{undef.} & \mbox{ wenn } r\geq f
\end{cases}
Zufallszahlen Z_1, ..., Z_{f+1} \sim N(0;1) unabhängig und   X = \frac{Z_{f+1}}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^f Z_i^2}{f}}} \sim t_f


Bemerkung 1. Für f>100 gilt t_f \approx N(0;1)

2. Student-Verteilung, weil W. Gosset unter dem Pseudonym "Student" seine Arbeit über diese Verteilung veröffentlichte


Quantile der t-Verteilung[Bearbeiten]

Für f>100 können die Fraktile mit der Formel t_{f;p} \approx z_p approximiert werden; z_p aus der Standardnormalverteilung. t_{f;0,5} ist der Median.

p 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.500 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995
1 -63.657 -31.821 -12.706 -6.314 -3.078 0.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 -9.925 -6.965 -4.303 -2.920 -1.886 0.000 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 -5.841 -4.541 -3.182 -2.353 -1.638 0.000 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 -4.604 -3.747 -2.776 -2.132 -1.533 0.000 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 -4.032 -3.365 -2.571 -2.015 -1.476 0.000 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 -3.707 -3.143 -2.447 -1.943 -1.440 0.000 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 -3.499 -2.998 -2.365 -1.895 -1.415 0.000 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 -3.355 -2.896 -2.306 -1.860 -1.397 0.000 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 -3.250 -2.821 -2.262 -1.833 -1.383 0.000 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 -3.169 -2.764 -2.228 -1.812 -1.372 0.000 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 -3.106 -2.718 -2.201 -1.796 -1.363 0.000 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 -3.055 -2.681 -2.179 -1.782 -1.356 0.000 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 -3.012 -2.650 -2.160 -1.771 -1.350 0.000 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 -2.977 -2.624 -2.145 -1.761 -1.345 0.000 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 -2.947 -2.602 -2.131 -1.753 -1.341 0.000 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 -2.921 -2.583 -2.120 -1.746 -1.337 0.000 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 -2.898 -2.567 -2.110 -1.740 -1.333 0.000 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 -2.878 -2.552 -2.101 -1.734 -1.330 0.000 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 -2.861 -2.539 -2.093 -1.729 -1.328 0.000 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 -2.845 -2.528 -2.086 -1.725 -1.325 0.000 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 -2.831 -2.518 -2.080 -1.721 -1.323 0.000 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 -2.819 -2.508 -2.074 -1.717 -1.321 0.000 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 -2.807 -2.500 -2.069 -1.714 -1.319 0.000 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 -2.797 -2.492 -2.064 -1.711 -1.318 0.000 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 -2.787 -2.485 -2.060 -1.708 -1.316 0.000 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
26 -2.779 -2.479 -2.056 -1.706 -1.315 0.000 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
27 -2.771 -2.473 -2.052 -1.703 -1.314 0.000 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
28 -2.763 -2.467 -2.048 -1.701 -1.313 0.000 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763
29 -2.756 -2.462 -2.045 -1.699 -1.311 0.000 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 -2.750 -2.457 -2.042 -1.697 -1.310 0.000 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
31 -2.744 -2.453 -2.040 -1.696 -1.309 0.000 1.309 1.696 2.040 2.453 2.744
32 -2.738 -2.449 -2.037 -1.694 -1.309 0.000 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738
33 -2.733 -2.445 -2.035 -1.692 -1.308 0.000 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733
34 -2.728 -2.441 -2.032 -1.691 -1.307 0.000 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728
35 -2.724 -2.438 -2.030 -1.690 -1.306 0.000 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724
36 -2.719 -2.434 -2.028 -1.688 -1.306 0.000 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719
37 -2.715 -2.431 -2.026 -1.687 -1.305 0.000 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715
38 -2.712 -2.429 -2.024 -1.686 -1.304 0.000 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712
39 -2.708 -2.426 -2.023 -1.685 -1.304 0.000 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708
40 -2.704 -2.423 -2.021 -1.684 -1.303 0.000 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
41 -2.701 -2.421 -2.020 -1.683 -1.303 0.000 1.303 1.683 2.020 2.421 2.701
42 -2.698 -2.418 -2.018 -1.682 -1.302 0.000 1.302 1.682 2.018 2.418 2.698
43 -2.695 -2.416 -2.017 -1.681 -1.302 0.000 1.302 1.681 2.017 2.416 2.695
44 -2.692 -2.414 -2.015 -1.680 -1.301 0.000 1.301 1.680 2.015 2.414 2.692
45 -2.690 -2.412 -2.014 -1.679 -1.301 0.000 1.301 1.679 2.014 2.412 2.690
46 -2.687 -2.410 -2.013 -1.679 -1.300 0.000 1.300 1.679 2.013 2.410 2.687
47 -2.685 -2.408 -2.012 -1.678 -1.300 0.000 1.300 1.678 2.012 2.408 2.685
48 -2.682 -2.407 -2.011 -1.677 -1.299 0.000 1.299 1.677 2.011 2.407 2.682
49 -2.680 -2.405 -2.010 -1.677 -1.299 0.000 1.299 1.677 2.010 2.405 2.680
50 -2.678 -2.403 -2.009 -1.676 -1.299 0.000 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678
51 -2.676 -2.402 -2.008 -1.675 -1.298 0.000 1.298 1.675 2.008 2.402 2.676
52 -2.674 -2.400 -2.007 -1.675 -1.298 0.000 1.298 1.675 2.007 2.400 2.674
53 -2.672 -2.399 -2.006 -1.674 -1.298 0.000 1.298 1.674 2.006 2.399 2.672
54 -2.670 -2.397 -2.005 -1.674 -1.297 0.000 1.297 1.674 2.005 2.397 2.670
55 -2.668 -2.396 -2.004 -1.673 -1.297 0.000 1.297 1.673 2.004 2.396 2.668
56 -2.667 -2.395 -2.003 -1.673 -1.297 0.000 1.297 1.673 2.003 2.395 2.667
57 -2.665 -2.394 -2.002 -1.672 -1.297 0.000 1.297 1.672 2.002 2.394 2.665
58 -2.663 -2.392 -2.002 -1.672 -1.296 0.000 1.296 1.672 2.002 2.392 2.663
59 -2.662 -2.391 -2.001 -1.671 -1.296 0.000 1.296 1.671 2.001 2.391 2.662
60 -2.660 -2.390 -2.000 -1.671 -1.296 0.000 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
61 -2.659 -2.389 -2.000 -1.670 -1.296 0.000 1.296 1.670 2.000 2.389 2.659
62 -2.657 -2.388 -1.999 -1.670 -1.295 0.000 1.295 1.670 1.999 2.388 2.657
63 -2.656 -2.387 -1.998 -1.669 -1.295 0.000 1.295 1.669 1.998 2.387 2.656
64 -2.655 -2.386 -1.998 -1.669 -1.295 0.000 1.295 1.669 1.998 2.386 2.655
65 -2.654 -2.385 -1.997 -1.669 -1.295 0.000 1.295 1.669 1.997 2.385 2.654
66 -2.652 -2.384 -1.997 -1.668 -1.295 0.000 1.295 1.668 1.997 2.384 2.652
67 -2.651 -2.383 -1.996 -1.668 -1.294 0.000 1.294 1.668 1.996 2.383 2.651
68 -2.650 -2.382 -1.995 -1.668 -1.294 0.000 1.294 1.668 1.995 2.382 2.650
69 -2.649 -2.382 -1.995 -1.667 -1.294 0.000 1.294 1.667 1.995 2.382 2.649
70 -2.648 -2.381 -1.994 -1.667 -1.294 0.000 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648
71 -2.647 -2.380 -1.994 -1.667 -1.294 0.000 1.294 1.667 1.994 2.380 2.647
72 -2.646 -2.379 -1.993 -1.666 -1.293 0.000 1.293 1.666 1.993 2.379 2.646
73 -2.645 -2.379 -1.993 -1.666 -1.293 0.000 1.293 1.666 1.993 2.379 2.645
74 -2.644 -2.378 -1.993 -1.666 -1.293 0.000 1.293 1.666 1.993 2.378 2.644
75 -2.643 -2.377 -1.992 -1.665 -1.293 0.000 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643
76 -2.642 -2.376 -1.992 -1.665 -1.293 0.000 1.293 1.665 1.992 2.376 2.642
77 -2.641 -2.376 -1.991 -1.665 -1.293 0.000 1.293 1.665 1.991 2.376 2.641
78 -2.640 -2.375 -1.991 -1.665 -1.292 0.000 1.292 1.665 1.991 2.375 2.640
79 -2.640 -2.374 -1.990 -1.664 -1.292 0.000 1.292 1.664 1.990 2.374 2.640
80 -2.639 -2.374 -1.990 -1.664 -1.292 0.000 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639
81 -2.638 -2.373 -1.990 -1.664 -1.292 0.000 1.292 1.664 1.990 2.373 2.638
82 -2.637 -2.373 -1.989 -1.664 -1.292 0.000 1.292 1.664 1.989 2.373 2.637
83 -2.636 -2.372 -1.989 -1.663 -1.292 0.000 1.292 1.663 1.989 2.372 2.636
84 -2.636 -2.372 -1.989 -1.663 -1.292 0.000 1.292 1.663 1.989 2.372 2.636
85 -2.635 -2.371 -1.988 -1.663 -1.292 0.000 1.292 1.663 1.988 2.371 2.635
86 -2.634 -2.370 -1.988 -1.663 -1.291 0.000 1.291 1.663 1.988 2.370 2.634
87 -2.634 -2.370 -1.988 -1.663 -1.291 0.000 1.291 1.663 1.988 2.370 2.634
88 -2.633 -2.369 -1.987 -1.662 -1.291 0.000 1.291 1.662 1.987 2.369 2.633
89 -2.632 -2.369 -1.987 -1.662 -1.291 0.000 1.291 1.662 1.987 2.369 2.632
90 -2.632 -2.368 -1.987 -1.662 -1.291 0.000 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632
91 -2.631 -2.368 -1.986 -1.662 -1.291 0.000 1.291 1.662 1.986 2.368 2.631
92 -2.630 -2.368 -1.986 -1.662 -1.291 0.000 1.291 1.662 1.986 2.368 2.630
93 -2.630 -2.367 -1.986 -1.661 -1.291 0.000 1.291 1.661 1.986 2.367 2.630
94 -2.629 -2.367 -1.986 -1.661 -1.291 0.000 1.291 1.661 1.986 2.367 2.629
95 -2.629 -2.366 -1.985 -1.661 -1.291 0.000 1.291 1.661 1.985 2.366 2.629
96 -2.628 -2.366 -1.985 -1.661 -1.290 0.000 1.290 1.661 1.985 2.366 2.628
97 -2.627 -2.365 -1.985 -1.661 -1.290 0.000 1.290 1.661 1.985 2.365 2.627
98 -2.627 -2.365 -1.984 -1.661 -1.290 0.000 1.290 1.661 1.984 2.365 2.627
99 -2.626 -2.365 -1.984 -1.660 -1.290 0.000 1.290 1.660 1.984 2.365 2.626
100 -2.626 -2.364 -1.984 -1.660 -1.290 0.000 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626