Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit

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Da bei der Definition der Wahrscheinlichkeit nicht festgelegt ist, wie die Abbildung von der Menge Ereignisse in das Intervall [0;1] aussieht, haben sich verschiedene Definitionen (auch historisch bedingt) entwickelt:

Klassische Definition nach Laplace
P(A) = \frac{\mbox{die Zahl, der für A günstigen Ergebnisse des Zufallsexperiments}}{\mbox{die Zahl aller Ergebnisse des Zufallsexperiments}}
Definition nach von Mises
P(A) = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\mbox{die Anzahl wie oft A bei n Zufallsexperimenten eingetreten ist}}{\displaystyle n}
Axiomensystem von Kolmogorow
Das Axiomensystem legt fest, welchen Eigenschaften die Abbildung P zu erfüllen hat, damit sie als Definition einer Wahrscheinlichkeit benutzt werden kann:
  1. Nichtnegativität: 0 \leq P(A) \leq 1
  2. Normierung: Ist S\ die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes, so muss gelten P(S)=1_{}^{}
  3. Additivität: Sind A\ und B\ disjunkte Ereignisse, so muss gelten P(A\cup B) = P(A)+P(B)

Die Klassische Definition nach Laplace hat den Vorteil, dass man für jedes Ereignis die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, wenn das Zufallsexperiment eine endliche Anzahl von Ergebnissen hat. Diese Problem überwindet die Definition nach von Mises, jedoch muss ein Übergang für n=\infty gemacht werden, der selbst zusätzliche Unsicherheiten aufwerfen kann. Im wesentlichen garantiert der Zentrale Grenzwertsatz, dass man für n\rightarrow\infty die wahre Wahrscheinlichkeit findet.

Das Axiomensystem von Kolmogorow legt nur Eigenschaften für P fest, gibt aber nicht an wie groß die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A ist. In der Praxis benutzt man daher eine Mischung der Definitionen nach Laplace bzw. von Mises und dem Axiomensystem. Man könnte aber auch Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse des Zufallsexperiments festlegen, dann können sich mit Hilfe des Axiomensystems durchaus unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Ereignis A ergeben.