Poissonverteilung

Aus StatWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche


Eigenschaften[Bearbeiten]

Name Formel/Wert
Schreibweise X\sim Po(\lambda) mit E(x)=Var(x)= \lambda
Ableitung Die Poisson Verteilung kann als Grenzfall der Binomialverteilung oder Hypergeometrische Verteilung hergeleitet werden. Geht die Anzahl der Versuche  \ n \to \infty\; (n>10) \ und die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses P  \to 0 und konvergiert  nP gegen den Mittelwert, dann ist eine Zufallsvariable Poisson verteilt mit \lambda = nP . Die Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit x des Auftretens eines Ereignisse in einem Kontinuum aus Zeit, Fläche, Strecke oder Volumen, wird durch f_{Po}(x; \lambda) beschrieben.
Dichtefunktion  f_Po(x;\lambda) = \frac {\lambda^{x}} {x!}e^{-\lambda} \quad \quad \quad \quad \mbox{für } x=0, 1, 2, ..., n; \lambda>0 \
Verteilungsfunktion  F_{Po}(x;\lambda)= \begin{cases}\sum_{k=0}^{x}\frac {\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} &\mbox{für }k \geq 0,  \; \lambda>0\\ 0 &\mbox{sonst }\end{cases}
Quantilsfunktion
Moment(e)
Zentrale(s) Moment(e)  \mu_r = \lambda \sum_{i=0}^{r-2} {r-1\choose i} \mu_i;  \quad\quad \quad r \geq 2,  \; \mu_0 = 1
Zufallszahlen

 Z_i \sim Re(0;1) \quad i=0, 1, 2,..., n und unabhängig (siehe Zufallszahlengenerator)

\rightarrow X = max \;\left( j \in \mathbb{N}_0 : -lnZ_0 -lnZ_1-...-lnZ_j  \leq \lambda \right) \sim Po(\lambda)
Schätzer (Maximum-Likelihood)  \hat{\lambda} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
Schätzer (Momente)
Bemerkung
  • Die Poisson Verteilung ist für die Untersuchung von Warteschlangenmodellen geeignet, wobei hier die Häufigkeit des Eintretens eines Ereinisses innerhalb eines betrachteten Zeitraums von Interesse ist, während die verwandte Exponentialverteilung z.B. die Zeit bis zum Eintreten eines Ereingisses betrachtet.
  • Eine wichtige Eigenschaft der Poisson-Verteilung ist die sogenannte Gedächtnislosigkeit oder Nachwirkungsfreiheit. D.h. Die Wahrscheinlichkeit für k Ereignisse innerhalb des Zeitraums T+t hängt allein von der Länget des Zeitraums ab und nicht von der bereits in T eingetroffenen Ereignisse.
  • Für n>10 und P<0,05 können die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung mit der Poissoverteilung approximiert werden, mit \lambda = nP.
  • Für \lambda\geq 9 \ und \lambda \to \mu \ kann die Poissonverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.

Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Submit form "cdfpoisson" ?

Lambda: <input name="lambda" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"><input type="submit" value=" Absenden ">

Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion[Bearbeiten]

Submit form "wkPo" ?

Lambda: <input name="lambda" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"> <input type="submit" value=" Submit ">