Normalverteilung

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Siehe auch: Standardnormalverteilung

Schreibweise X\sim N(\mu; \sigma^2) mit \mu\in \mathbb{R}, \sigma\in\mathbb{R}^+
Ableitung 1. Die Wichtigkeit der Normalverteilung beruht auf dem Zentralen Grenzwertsatz

2. Viele natürlich auftretende Phänomene lassen sich daher mit der Normalverteilung modellieren

Dichtefunktion  f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) mit x\in\mathbb{R}
Verteilungsfunktion  F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt ist nicht elementar darstellbar (Tabelle siehe Standardnormalverteilung)
Erwartungswert E(X)=\mu
Varianz Var(X)=\sigma^2
Quantilsfunktion  F^{-1}(p) ist nicht elementar darstellbar (Tabelle siehe Standardnormalverteilung)
Median  x_{0,5}=\mu
Modus x_D=\mu
Moment(e) M_1(0)=\mu
Zentrale(s) Moment(e) m_r^{}=\begin{cases}0&\mbox{ wenn } r=2k+1\\\sigma^r (r-1)\times(r-3)\times ... \times 3\times 1&\mbox{ wenn } r=2k\end{cases}
Zufallszahlen U_1, U_2 \sim U(0;1), U_i unabhängig
X_1 =\sqrt{2 \log(U_1)} \cos(2\pi U_2), X_2 =\sqrt{2 \log(U_1)} \sin(2\pi U_2)
\mu+\sigma X_i \sim N(\mu;\sigma^2)
Schätzer (Maximum-Likelihood) \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\hat{\mu})^2 (unverzerrt auf Basis des ML-Schätzers)
Bemerkung Wichtigste Verteilung der Statistik, die durch die Parameter \mu (Erwartungswert) und \sigma (Streuung) definiert ist, d. h. glockenförmig, symmetrisch ist. Zwischen den beiden Wendepunkten liegen ca. 68% der gesamten Verteilungsfläche (Standardnormalverteilung).


Plots der Dichte- und Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

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μ: <input name="mu" type="text" size="5" maxlength="5" value="0"> σ2: <input name="sigma2" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"> <input type="submit" value=" Absenden ">