Kombinatorik

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Siehe auch: Wahrscheinlichkeitsrechnung


Kombination
Stichprobe ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
Kombinatorik
Kombinatorik behandelt die Zahl der Anordnungen von Elementen in einer Gruppe. Die Kombinatorik wird im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung benutzt.
Permutation
Anordnung von Elementen. Werden in einem Zufallsexperiment (z.B. Urne, Kartenspiel, Computergenerierung) alle Objekte bzw. Ergebnisse gezogen und nicht zurückgelegt, bezeichnet man die dabei auftretende Reihenfolge der Ergebnisse als eine "Permutation"; bei n Ereignissen gibt es n! Permutationen.
Wiederholung
Bei Kombinationen und Variationen stellt sich die Frage, ob gezogene Elemente nochmal gezogen werden können (wiederholte Ziehung). Bei der Permutation stellt sich die Frage, ob es Elemente gibt die gleichartig sind, d.h. es kann nach der Ziehung nicht gesagt werden, welches Element aus der Gruppe gezogen wurde. Die Zahl der möglichen Anordnungen wird damit bei Permutationen, Variationen und Kombinationen beeinflusst.
Variation
Stichprobe ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge


Kombination, Variation oder Permutation[Bearbeiten]

Zur Unterscheidung, ob sich um eine Kombination, Variation oder Permutation handelt kann der folgende Algorithmus verwendet werden:

  • Wird aus der Menge der Elemente noch eine Auswahl getroffen ?
    • Falls nein, handelt es sich um eine Permutation.
      • Sind die Elemente alle verschieden ?
        • Ja, Permutation ohne Wiederholung P(n) = 1 \times \cdots \times n = n!.
        • Nein, Permutation mit Wiederholung P^W(n;n_1,...,n_k) = \frac{n!}{n_1! ... n_k!} mit n_1^{}+...+n_k = n.
    • Falls ja, ist die Reihenfolge der Ziehung relevant ?
      • Falls ja, handelt es sich um eine Variation.
        • Wird mit Zurücklegen gezogen ?
          • Ja, Variation mit Wiederholung  V^W(n;k) = n^k_{}
          • Nein, Variation ohne Wiederholung V(n;k) = \frac{n!}{(n-k)!}
      • Falls nein, handelt es sich um eine Kombination.
        • Wird mit Zurücklegen gezogen ?
          • Ja, Kombination mit Wiederholung  K^W(n;k) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)! k!} =  { n+k-1\choose k}
          • Nein, Kombination ohne Wiederholung  K(n;k) = \frac{n!}{(n-k)! k!} = {n\choose k}