Hypergeometrische Verteilung

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Eigenschaften[Bearbeiten]


NameFormel/Wert
Schreibweise X\sim H(n;N;M) mit N Kugeln, M davon rot, N-M nicht rot.
Ableitung Die Hypergeometrische Verteilung entspricht dem Urnenmodell ohne Zurücklegen. In der Urne befinden sich bei insgesamt N Kugeln, M Kugeln der Eigenschaft i (z.B.;rot)und N-M Kugeln der Eigenschaft j(z.B.:schwarz). Nun werden nacheinander Kugeln gezogen, ohne dass bereits gezogene Kugeln wieder zurückgelegt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Ziehungen genau x rote Kugeln gezogen werden, wird durch f(x) dargestellt.
Dichtefunktion  f_H(x;N,M,n)= \begin{cases}\frac{{M \choose x}{N-M \choose n-x}}{{N\choose n}} &\mbox{für } max(0;M+n-N\leq x \leq min(n;M)\\ 
0 & \mbox{sonst}\end{cases}

wobei  n,N,M \in \mathbb{N}; \quad n \leq N \quad {und} \quad M<N
Verteilungsfunktion F(x)=\sum_{k\leq x}f(k) ist nicht elementar darstellbar.
ErwartungswertE(X)= n\frac{M}{N}
VarianzVar(X)= n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\left(\frac{N-n}{N-1}\right)
Quantilsfunktion F^{-1}_{}(p)
Moment(e)
Zentrale(s) Moment(e)
Zufallszahlen Z_i \sim Re(0;1) für i=1, 2, ..., n und unabhängig (siehe Zufallszahlengenerator)

\rightarrow Y_i=\begin{cases} 1 &\mbox{falls } Z_i\leq P_i\\ 0 &\mbox{falls } Z_i>P_i\end{cases}

\rightarrow X=\sum_{i=1}^{n}Y_i\sim Hy(n;N,M)
Schätzer (Maximum-Likelihood) wenn n und N bekannt, folgt als Maxiumum Likelihood Schätzer für M:

\hat{M} = \begin{cases} [\frac{X(N+1)}{n}]_G  & \mbox {falls}\; \frac {X(N+1)}{n} \quad nicht \;ganzzahlig \\
\\
\frac{X(N+1)}{n} \;oder \;\frac{X(N+1)}{n-1} & \mbox {falls}\; \frac {X(N+1)}{n} \quad ganzzahlig 
\end{cases}
Schätzer (Momente)
Bemerkung
  • Für 0,1<P<0,9 und n>10 und \frac{n}{N}<0,1 ist die Hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung mit P = \frac{M}{N} und gleichem n approximierbar.
  • Für P \leq 0,1 oder  P \geq 0,9 und n \geq 30 und  \frac{n}{N} ist die Hypergeometrische Verteilung durch die Poisson Verteilung mit  \lambda = n\frac{M}{N} approximierbar.




Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion[Bearbeiten]

Submit form "cdfhyper" ?

n: <input name="n" type="text" size="5" maxlength="5" value="6">  N: <input name="N" type="text" size="5" maxlength="5" value="49">  M: <input name="M" type="text" size="5" maxlength="5" value="6">  <input type="submit" value="Absenden">

Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion[Bearbeiten]

Submit form "wkH" ?

n: <input name="n" type="text" size="5" maxlength="5" value="6">  N: <input name="N" type="text" size="5" maxlength="5" value="49">  M: <input name="M" type="text" size="5" maxlength="5" value="6">  <input type="submit" value=" Submit ">