F-Verteilung

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Eigenschaften der F-Verteilung[Bearbeiten]

NameFormel/Wert
SchreibweiseX\sim F_{f_1;f_2} mit f_1, f_2 \in \mathbb{N}
Ableitung
  • Kann aus zwei unabhängigen Verteilungen X_1 \sim \chi^2_{f_1} und X_2 \sim \chi^2_{f_2} abgeleitet werden mit X = \frac{X_1/f_1}{X_2/f_2} \sim F_{f_1,f_2}
Dichtefunktion> f(x)=\begin{cases} \frac{\Gamma\left(\frac{f_1+f_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{f_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{f_2}{2}\right)} \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^{f_1/2}\frac{x^{(f_1/2)-1}}{(1+f_1x/f_2)^{(f_1+f_2)/2}} & \mbox{ für } x \geq 0\\
0 & \mbox{ sonst}\end{cases} mit \Gamma(x) die Gamma-Funktion
VerteilungsfunktionF(x)_{}^{} ist nicht elementar darstellbar
Erwartungswert E(X)=\frac{f_2}{f_2-2} für f>2
Varianz Var(X)=\frac{f_2^2 (f_1+2)}{f_1(f_2-2)(f_2-4)}
Quantilsfunktion F^{-1}_{}(p) ist nicht elementar dartellbar, siehe Tabellen
Median x_{0,5}^{} ist nicht elementar darstellbar, siehe Tabellen unten
Modus x_D=\frac{f_2(f_1-2)}{f_1 (f_2+2)}
Moment(e) M_r(0)=\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^r \frac{\Gamma(f_1/2+r)\Gamma(f_2/2-r)}{\Gamma(f_1/2)\Gamma(f_2/2)} für 2r<f_2
Zentrale(s) Moment(e)m_r^{}=
ZufallszahlenWerden berechnet unter Ausnutzung des Zusammenhanges zwischen der F-Verteilung und anderen Verteilungen:
f_2^{} \ f_1^{} 1^{}_{}  >1_{}^{} \infty
1_{}^{} X\sim t_1
 \Rightarrow X^2 \sim F_{1;1}
X\sim t_{f_1}
  \Rightarrow X^{-2} \sim F_{f_1;1}
X\sim N(0;1)
  \Rightarrow X^{-2} \sim F_{\infty;1}
 >1_{}^{} X\sim t_{f_2}
 \Rightarrow X^2 \sim F_{1;f_2}
X\sim B(f_2/2;f_1/2)
 \Rightarrow f_2/f_1 (1/X-1) \sim F_{f_1;f_2}
\chi^2_{f_2}
 \Rightarrow f_2/X \sim F_{\infty;f_2}
\infty X\sim N(0;1)
 \Rightarrow X^2 \sim F_{1;\infty}
X\sim \chi^2_{f_1}
 \Rightarrow X/f_1 \sim F_{f_1;\infty}

Alle Verwandschaften rühren aus Vereinfachungen der obigen Ableitung her.

Schätzer (Maximum-Likelihood)
Schätzer (Momente)
Bemerkung
  • Es gilt X\sim F_{f_1;f_2} \Rightarrow 1/X \sim F_{f_2; f_1}
  • X \sim F_{f;f} \Rightarrow 1/2 \sqrt{f} (\sqrt{X} - 1/\sqrt{X}) \sim t_f
  • Diese Verteilung wird auch Snedecor-Verteilung oder Fisher-Snedecor-Verteilung genannt

Quantile der F Verteilung[Bearbeiten]

Für die Quantile mit p<0,5 kann die Beziehung F_{f_1;f_2;p} = \frac{1}{F_{f_2;f_1;1-p}} ausgenutzt werden.

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Quantil (zwischen 0 und 1): <input name="quantil" type="text" size="5" maxlength="5" value="0.95"> <input type="submit" value=" Submit ">

R-Plots[Bearbeiten]

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion sowie einige Parameter der F-Verteilung.

Sie können die Parameter der R-Programme mit Hilfe von bearbeiten (rechts oben) ändern. Evtl. müssen Sie nach Ablauf der Programme den Reload Button in ihrem Browser drücken.

Die Parameter zum Einstellen sind 'xmin' und 'xmax', minimaler und maximaler x Wert für die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion, 'n', die Zahl der Schritte von 'xmin' nach 'xmax' und schliesslich 'f1' und 'f2', die Parameter zur F Verteilung.

Dichtefunktion[Bearbeiten]

Submit form "dichtef" ?

f1:<input name="f1" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"> f2:<input name="f2" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"> <input type="submit" value=" Submit ">
xmin:<input name="xmin" type="text" size="5" maxlength="5" value="0"> xmax:<input name="xmax" type="text" size="5" maxlength="5" value="10"> n:<input name="n" type="text" size="5" maxlength="5" value="100">

Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

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f1:<input name="f1" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"> f2:<input name="f2" type="text" size="5" maxlength="5" value="1"> <input type="submit" value=" Submit ">
xmin:<input name="xmin" type="text" size="5" maxlength="5" value="0"> xmax:<input name="xmax" type="text" size="5" maxlength="5" value="10"> n:<input name="n" type="text" size="5" maxlength="5" value="100">