Chi^2-Verteilung

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Schreibweise X\sim \chi^2_f f \in \mathbb{N}
Ableitung Sie ergibt sich aus f unabhängigen Standardnormalverteilungen Z_i\sim N(0;1) als \chi^2_f = \sum_{i=0}^f Z_i^2
Dichtefunktion f(x)=\begin{cases} \frac{x^{(f/2)-1}\exp(-x/2)}{2^{f/2}\Gamma(f/2)} & \mbox{ fuer } x\geq 0 \\ 0 & \mbox{ sonst}\end{cases} mit \Gamma(x) die Gamma-Funktion
Verteilungsfunktion F(x)=\int_0^x f(t) dt ist elementar nicht darstellbar
Erwartungswert E(X)=f
Varianz Var(X)=2f
Quantilsfunktion F^{-1}(p) ist elementar nicht darstellbar, für spezielle Fraktile siehe Tabelle unten
Median x_{0,5} ist elementar nicht darstellbar, siehe Tabelle unten. Für f>100 gilt x_{0,5} \approx f-0,5.
Modus x_D=f-2 für f>1
Moment(e) M_r(0)=2^r \prod_{j=0}^{r-1} (j+f/2)
Zentrale(s) Moment(e) m_r=\sum_{i=0}^r {r \choose i}  (-f)^i 2^{r-i} \prod_{j=0}^{r-i-1} (j+f/2)
Zufallszahlen 1. f=2k_{}^{}: Z_i^{} \sim U(0; 1) \Rightarrow X = -2 \sum_{i=1}^k \log(Z_i) \sim \chi^2_f

2. f=2k+1_{}^{}: Z_i \sim N(0; 1) \Rightarrow X = \sum_{i=1}^f Z_i^2 \sim \chi^2_f


Bemerkung Eigenschaften:
  • Summenreproduktivität, d.h. für unabhängige \chi^2_{f_i} gilt: X = \sum_{i=1}^k \chi^2_{f_i} \sim \chi^2_{f} mit f= \sum_{i=1}^k f_i
  • X \sim \chi^2_2 \Leftrightarrow X \sim Ex(0,5)
  • X \sim \chi^2_f \Leftrightarrow X \sim Ga(0,5; f/2)
  • Für f_{}^{}>100 gilt X \sim \chi^2_f \Leftrightarrow X \approx N(f;2f)


Quantile der Chi^2 Verteilung[Bearbeiten]

Für f>100 können die Fraktile mit der Formel \chi^2_{f;p} \approx 0,5 (z_p + \sqrt{2 f -1})^2 approximiert; z_p aus der Standardnormalverteilung. \chi^2_{f;0,5} ist der Median.

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in

x<-cbind(0.005, 0.010, 0.025, 0.05, 0.1, 0.5, 0.9, 0.95, 0.975, 0.99, 0.995) df<-rbind(1:100) m<-sapply(x, qchisq, df) dim(m)<-c(length(df),length(x)) colnames(m)<-format(x,3) rownames(m)<-format(df,0) out.HTML(rhtml, m, title="p", format=list(cell="%.4f", col="%.4f"), style=list(table="width:100%;"))