Binomialverteilung

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Eigenschaften[Bearbeiten]



NameFormel/Wert
Schreibweise X\sim Bi(n;p) mit n Stichprobenumfang und p Wahrscheinlichkeit
Ableitung Ausgangspunkt: Sog. Urnenmodell mit zwei verschiedenen Arten von insgesamt N Kugeln, wobei p den Anteil der Kugeln der einen Art (rot) und (1-p) den Anteil der Kugeln der anderen Art (weiß) angibt. Aus dieser Urne erfolgen Ziehungen mit Zurücklegen (siehe Kombinatorik). Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n unabhängigen Ziehungen genau x rote Kugeln gezogen werden, wird durch f(x) dargestellt.
Dichtefunktion  f(x)= \begin{cases}{n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} & \mbox{ für } x=0, 1, 2, ..., n \\ 0 & \mbox{ sonst}\end{cases}
Verteilungsfunktion F(x)=\sum_{k\leq x}f(k) ist nicht elementar darstellbar
ErwartungswertE(X)=np_{}^{}
VarianzVar(X)=np(1-p)_{}^{}
Quantilsfunktion F^{-1}_{}(p) ist nicht elementar darstellbar
Moment(e)
Zentrale(s) Moment(e)  m_r=np(1-p)\sum_{i=0}^{r-2}{r-1 \choose i} m_i-p\sum_{i=0}^{r-2}{r-1 \choose i} m_{i+1};r=2, 3, ...
Zufallszahlen U_i \sim U(0;1) für i=1, 2, ..., n und unabhängig (siehe Zufallszahlengenerator)

\rightarrow X_i=\begin{cases} 1 &\mbox{ für } U_i\leq p\\ 0 &\mbox{ für } U_i>p\end{cases}

\rightarrow X=\sum_{i=1}^{n}X_i\sim Bi(n;p)
Schätzer (Maximum-Likelihood)
(i) wenn nur p unbekannt:
\hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^mx_i}{\sum_{i=1}^m n_i}
(ii) wenn n und p unbekannt, sind die ML-Schätzer die Lösung des folgenden Gleichungssystems:
\begin{matrix}\hat{n}\hat{p}&=&\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i\\
\sum_{j=0}^{R-1}\frac{y_j}{(\hat{n}-j)}&=&-\hat{n}\ln (1-\frac{\sum_{i=1}^{m}x_i}{m\hat{n}})\end{matrix}
   mit:


\ \ \ \ y_j der Anzahl jener x_i, die j überschreiten und

\ \ \ \ R = \max_{1\leq i \leq m}\{x_i\}
(iii) wenn nur n unbekannt:
Der ML-Schätzer für n ergibt sich aus Gleichung (2) in (ii), sofern für 
\frac{\sum_{i=1}^{m}x_i}{m\hat{n}} die bekannte Wahrscheinlichkeit p eingesetzt wird.
Schätzer (Momente)
Bemerkung
  • nach dem Zentralen Grenzwertsatz ist X asymptotisch normalverteilt (Normalverteilung)
  • Werte der Binomialverteilung konvergieren für n\rightarrow \infty, p\rightarrow 0 und np\rightarrow
 \lambda gegen die Werte der Poissonverteilung

Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Für n>30 sind geeignete Approximationen anzuwenden.

Submit form "cdfbinom" ?

p: <input name="prob" type="text" size="5" maxlength="5" value="0.5"><input type="submit" value=" Absenden ">

Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion[Bearbeiten]

Submit form "wkB" ?

n: <input name="n" type="text" size="5" maxlength="5" value="10"> prob: <input name="prob" type="text" size="5" maxlength="5" value="0.2"> <input type="submit" value=" Submit ">