Alpha-Gastwirth-Cohen Mittelwert

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Der \alpha\,-Gastwirth-Cohen Mittelwert \overline{x}_{GC,\,\alpha} gehört als robuster Schätzer für einen Lageparameter \mu der Grundgesamtheit zu den L-Schätzern. Er ist wie folgt definiert:

\overline{x}_{GC,\alpha}=\sum_{i=1}^n w_{(i)}x_{(i)}=\lambda[x_{(v+1)}+x_{(n-v)}] +(1-2\lambda)x_{0,5}.

Darin sind:

  • n der Stichprobenumfang,
  • x_{(i)}^{} die geordneten Stichprobenwerte,
  • \alpha\, ein Anteil von Beobachtungswerten, der ist nach einer explorativen Datenanalyse der Stichprobenwerte aufgrund des “Verschmutzungsgrades” der Daten festzulegen ist, mit 0 \leq \alpha < 0,5,
  • v die größte ganze Zahl, für die gilt v \leq n\cdot\alpha, womit sich die beiden Stichprobenwerte x_{(v+1)}^{} und x_{(n-v)}^{} ergeben,
  • \lambda\, ein weiterer frei wählbarer Parameter mit 0 ≤ λ ≤ 0,5,
  • x_{0.5}^{} der Median der Stichprobenwerte,
  • w_{(i)}^{} die Gewichte bei diesem L-Schätzer

bei geradem Stichprobenumfang n

w_{(i)}=\begin{cases} \lambda & \text{wenn } i = v +1, n - v \\ 
\displaystyle\frac{1}{2}-\lambda & \mbox{wenn } i=\tfrac{n}{2}, \tfrac{n}{2} + 1 \\ 
0 & \mbox{sonst} \end{cases}

und bei ungeradem Stichprobenumfang n

w_{(i)} = \begin{cases} \lambda & \mbox{wenn } i=v+1, n - v \\
1 - 2\lambda & \mbox{wenn } i = \tfrac{n+1}{2} \\
0 & \mbox{sonst.} \end{cases}.

Abgeleitete Mittelwerte[Bearbeiten]

Trimean[Bearbeiten]

Der Trimean ist ein spezieller \alpha\,-Gastwirth-Cohen Mittelwert mit \lambda=0,25 und \alpha=0,25 (und somit v = n/4), in dessen Berechnung die drei Quartile eingehen:

\overline{x}_{GC; 0,25}=\frac{1}{4}(x_{0,25}+x_{0,75})+\frac{1}{2}x_{0,5}.

Gastwirth Mittelwert[Bearbeiten]

Der Gastwirth Mittelwert ist ein spezieller \alpha\,-Gastwirth-Cohen Mittelwert mit \lambda=1/3 und \alpha=1/3 und mit v=\lceil n/3 \rceil:

\overline{x}_{GC;1/3}=0,3(x_{(v+1)}+x_{(n-v)})+0,4x_{0,5}.