مجال الثقة للنسبة

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

مجال الثقة للنسبة,مجالات الثقة للنسبة – المثال التفاعلي:,المثال التوضيحي : مجالات الثقة لنسبة المجتمع



H100.gif 8.6 مجال الثقة للنسبة


نفرض السحب من المجتمع الثنائي التصنيف, حيث \pi تشير لنسبة العناصر مع الخاصة المعطاة, نريد تقدير مجال الثقة للعنصر المجهول \pi.

نسحب العينة العشوائية من الحجم n حيث X_{1},\ldots,X_{n} مستقلة ومتماثلة وموزعة بتوزيع بيرنولي (شاهد قسم التوزيع الثنائي ).

تكون نسبة العينة عدد "النجاحات" في العينة ومتوسط متغيرات بيرنولي X_{1},\ldots,X_{n}. وللتأكيد أن نسبة العينة هي متوسط العينة لهذا:


\widehat{\pi}=\frac{x}{n}= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}



مع التوقع والتباين:


E(\widehat{\pi})=\pi


Var(\widehat{\pi})= \sigma^{2}(\widehat{\pi})=\frac{\pi(1-\pi)}{n}


انه مقدر غير متحيز و فعال الى \pi (شاهد قسم خواص المقدرات).


من الصعب جدا بناء مجالات الثقة للعينات الصغيرة , لذلك نقيد أنفسنا في حالة حجم العينة n كبير بشكل كافي, لذلك يمكن استعمال نظرية الحد المركزية للحصول على توزيع المقدر.


Z=\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\sigma(\widehat{\pi})}=\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}}


يتم تقريبه للتوزيع الطبيعي المعياري Z\sim N(0;1) , عندئذ نستنتج أن :


P\left(  -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\sigma(\widehat{\pi})}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)  \approx1-\alpha



حيث z_{1-\alpha/2} نحصل عليها من جداول التوزيع الطبيعي المعياري .


حتى الأن لا نستطيع بناء مجال الثقة الى \pi حيث تباين \widehat{\pi} يعتمد على \pi المجهول.

ببساطة نستبدل \sigma(\widehat{\pi}) مع التقدير الثابت


\widehat{\sigma}(\widehat{\pi})=\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}




تصبح الصيغة الاحتمالية في الأعلى


P\left(  -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\hat{\sigma}(\widehat{\pi})}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)  \approx1-\alpha


نعزل \pi في منتصف الصيغة الاحتمالية للحصول :


P\left(  \widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}\;\leq\;\pi\;\leq\;\widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}\right)  \approx1-\alpha


حينئذ لأجل أحجام العينات الكبيرة , يعطى مجال الثقة التقريبي بواسطة:


\left[  \widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}},\quad\widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}\right]



يزود التوزيع الطبيعي كتقريب مقبول ما دام \pi ليس قريب من الصفر أو الواحد,

بشكل مثالي حجم العينة يجب ألا يقل عن 30 ويفضل حجم العينة كبير مثال : n\geq 100.


خواص مجالات الثقة :

  • تبنى مجالات الثقة ثنائية الاتجاه باستعمال الاحتمالات المتساوية :


P\left(  \pi<\widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}\right)  \approx\frac{\alpha}{2},\quad P\left(  \widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}<\pi\right)  \approx\frac{\alpha}{2}



  • عند بناء مجا ل الثقة يكون متناظر حول تقدير النقطة \hat{\pi} .
  • طول المجال :


L=2z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}


هو متغير عشوائي حيث يعتمد \pi على العينة العشوائية.


  • يعتمد طول مجال الثقة على درجة الثقة 1 - \alpha و على n