مجال الثقة للمتوسط

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

مجال الثقة للمتوسط,تحديد مجالات الثقة للتوقع ,المثال الداعم لمجالات الثقة للتوقع ,مثال: مجالات الثقة للتوقع


H100.gif 8.5 مجال الثقة للمتوسط


نفرض المتغير العشوائي X مع التوقع المجهول E(X) = \mu, نريد القيام بتقدير المجال  \mu, ندع X_{1},\ldots,X_{n} نقدم n سحوبات من هذا المجتمع ويعرف بمتوسط العينة.


\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}


وهو تقدير فعال ومتماسك وغير متحيز الى  \mu

التباين والانحراف المعياري الى \bar{x} يعطى بواسطة (في حالة العينة العشوائية مع الاعادة , شاهد الفصل 7)


Var(\bar{x})=\sigma^{2}(\bar{x})=\frac{\sigma^{2}}{n}

\sigma(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}


لبناء مجال الثقة ثنائي الاتجاه الى  \mu:

  • نبدأ مع المقدر \bar{x}
  • يستخدم الانحراف المعياري \sigma(\bar{x}) لقياس الدقة.
  • يتطلب ضرب الشعاع c بالانحراف المعياري الى \bar{x} للحصول على مجال الثقة المطلوب. لبناء المجال:


\lbrack V_{u};V_{o}]=[\bar{x}-c\cdot\sigma(\bar{x}),\bar{x}+c\cdot\sigma(\bar{x})]


نقوم بتبديل \sigma(\bar{x})


\lbrack V_{u};V_{o}]=\left[\bar{x}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]


ونكتب المجال الاحتمالي:



P\left(\bar{x}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{x}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)  =1-\alpha


لتحديد c سنحتاج لعمل الفروض لتوزيع البيانات والتي تحدث توزيع \bar{x}

بالأسفل سنفرض البيانات موزعة بشكل طبيعي بشكل بديل في العينات الكبيرة نعرف بواسطة نظرية الحد المركزية أن \bar{x} يقرب للتوزيع الطبيعي سنحتاج للتمييز بين الحالتين:

\sigmaمعلوم, \sigma مجهول.


مجال الثقة للمتوسط مع التباين المعلوم

المجتمع الموزع بشكل طبيعي

نفرض X موزع بشكل طبيعي مع E(X)=\mu و Var(X)=\sigma^{2}


X\sim N(\mu;\sigma^{2})


نفرض \sigma^{2} معلوم والتوقع \mu مجهول. نفرض الشخص يسحب عينة عشوائية من الحجم n

المتغيرات العشوائية X_{1},\ldots,X_{n} موزعة بشكل طبيعي مع E(X)=\mu و Var(X)=\sigma^{2}:


X_{i}\sim N(\mu;\sigma^{2})\quad\mbox{  }\; i


ينتج لدينا المقدر \bar{x} موزع بشكل طبيعي أيضا مع E(\bar{x})=\mu و \sigma^{2}(\bar{x})=\sigma^{2}/n


\bar{x}\sim N(\mu,\sigma^{2}(\bar{x}))


المتغير العشوائي المعياري:


z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma(\bar{X})}=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}



هو طبيعي معياري Z\sim N(0,1).


ندع z_{\alpha/2} لتكون \alpha/2 و z_{1-\alpha/2} لتكون (1 -\alpha/2)للتوزيع الطبيعي المعياري عندئذ:


P(z_{\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2})=1-\alpha


تناظر التوزيع الطبيعي المعياري يعني أن


|z_{\alpha/2}|=|z_{1-\alpha/2}|\; \mbox{ und }\; z_{\alpha/2} = -z_{1-\alpha/2}


عندئذ:


P(-z_{1-\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2})=1-\alpha


لأجل الاحتمال 1-\alpha/2 المطابق للمقدار z_{1-\alpha/2} موجودة في الجداول الطبيعية المعيارية.

بعد استبدال Z سنعزل \mu في منتصف مجال الثقة كالتالي :


P\left(  -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq Z\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) =1-\alpha

P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)  =1-\alpha

P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\bar{X}-\mu\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)  =1-\alpha

P\left(\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha



ينتج المجال الاحتمالي الأخير مجال الثقة الى \mu الثابت المضروب بالانحراف المعياري الى يعطى بواسطة:


 [\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\quad\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]



خواص مجال الثقة


  • يبنى مجال الثقة فوق على الاحتمالات المتساوية لكل طرف


P\left( \mu<\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=\frac{\alpha}{2} \quad P\left( \bar{X} +z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<\mu\right)=\frac{\alpha}{2}


  • التناظر في توزيع z نتائج في مجال الثقة المتناظر حول \bar{x}
  • لا يعتمد طول مجال الثقة


\left(\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2z_{1-\frac {\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}


على القيم الفعلية x_{1},\ldots,x_{n} لأجل \sigma, n

1-\alpha المعطاة يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى. على أية حال كل مجالات التقدير هذه لها نفس الطول الثابت.

  • يعتمد عرض مجال الثقة على الانحراف المعياري \sigma,

للمجتمع, حجم العينة n والمقدار z_{1 - \alpha/2} لدرجة الثقة المعطاة .

زيادة الانحراف المعياري \sigma سيسبب زيادة عرض مجال الثقة, زيادة درجة الثقة 1 -\alpha

سيسبب زيادة في عرض مجال الثقة, زيادة حجم العينة n سيسبب زيادة دقة التقدير وعندئذ تضييق مجال الثقة .

اذا توزيع المجتمع مجهول والتباين معلوم عندئذ بواسطة نظرية الحد المركزية يقرب \bar{x} للتوزيع الطبيعي في هذه الحالة سيشاهد مجال الثقة فوق كتقريب .


مجال الثقة للمتوسط مع التباين المجهول


التوزيع الطبيعي في المجتمع


كما افترضنا من قبل

Mmengjavaimg2282.gif و

\bar{x}\sim N(\mu,\sigma^{2}(\bar{x}))

سنحتاج ثانية المتغير العشوائي الذي يعتمد فقط على العنصر المجهول \mu المتغير العشوائي المعياري z لن يعمل لأنه يتطلب لنا معرفة \sigma^{2} نفرض التباين \sigma^{2} يقدر باستعمال


Mmengjavaimg2286.gif


ونستبدل بالانحراف المعياري \sigma للحصول s


Mmengjavaimg2287.gif


يتبع المتغير العشوائي توزيع-t مع درجة الحرية Mmengjavaimg1671.gif .


Mmengjavaimg2288.gif


ندع Mmengjavaimg2289.gif لتكون المقدار Mmengjavaimg2251.gif و Mmengjavaimg2290.gif لتكون المقدار Mmengjavaimg2268.gif لتوزيع-t وبسبب تناظر توزيع-t


Mmengjavaimg2291.gif


حينئذ ينتج:


Mmengjavaimg2292.gif


لأجل الاحتمال Mmengjavaimg2272.gif يحصل المرء عندئذ على Mmengjavaimg2290.gif من جدول توزيع-t.

نستبدل t وبعد اجراء بعض العمليات الجبرية لدينا مجال الثقة:


Mmengjavaimg2293.gif


للعنصر المجهول \mu مع المجال الاحتمالي المطابق ويعطى مجال الثقة بواسطة:


Mmengjavaimg2294.gif


حيث يقترب توزيع-t للتوزيع Mmengjavaimg2295.gif لما حجم العينة n يزداد.

سيستخدم التوزيع الطبيعي المعياري بدلا من توزيع-t اذا حجم العينة كبير بشكل كافي كقاعدة تجريب في حالة Mmengjavaimg1734.gif


خواص مجال الثقة:

  • الخواص مشابهة كما في الحالة السابقة ما عدا طول مجال الثقة ليس ثابت لكن المتغير العشوائي يعتمد على التقدير s من \sigma


Mmengjavaimg2296.gif


مع حجم العينة المعطاة n ومستوى الثقة Mmengjavaimg1850.gif يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى والذي سيعرض أطوال مختلفة.

  • يعتمد طول مجال الثقة على حجم العينة n وعلى

Mmengjavaimg2290.gif ومستوى الثقة المعطاة Mmengjavaimg1850.gif.

  • المقدار من

Mmengjavaimg2290.gif توزيع-t أكبر من المقدار Mmengjavaimg1419.gif من التوزيع الطبيعي المعياري ومجالات الثقة ستصبح أعرض عندما التباين مجهول.

  • اذا توزيع المجتمع مجهول عندئذ باستعمال نظرية الحد المركزية, \bar{x}

تقرب للتوزيع الطبيعي وينتج الاجراء فوق مجالات الثقة التقريبية.