مجال الثقة للتباين

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

مجال الثقة للتباين,بناء مجالات الثقة للتباين – المثال التفاعلي,مثال : مجالات الثقة للتباين


H100.gif 8.7 مجال الثقة للتباين


نريد اشتقاق مجال الثقة للتباين المجهول \sigma^{2} للمجتمع تحت الشروط التالية :


1- المجتمع له توزيع طبيعي X\sim N(\mu;\sigma^{2}).

2-التوقع E(X) = \mu مجهول .

3- نسحب العينة العشوائية من الحجم n , المتغيرات العشوائية X_{1},\ldots,X_{n} مستقلة ومتطابقة وموزعة بشكل طبيعي .

كما رأينا في السابق , يعطى المقدر غير المتحيز للتباين المجهول \sigma^{2} بواسطة :


S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}


كما رأينا من قبل أن (شاهد توزيع تباين العينة )


\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\bar{X}}{\sigma }\right)^{2}



له توزيع كاي مربع مع f = n - 1 درجة الحرية.

يمكن عمل العبارة الاحتمالية بالصيغة التالية :



P\left(\frac{\sigma^{2}\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}{n-1}\leq S^{2}\leq\frac{\sigma^{2}\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}{n-1}\right)=1-\alpha



هنا \chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2} للمقدار \alpha/2 و \chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2} للمقدار Mmengjavaimg2268.gif لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية f = n- 1

بواسطة العملية الجبرية نعزل \sigma^{2} في منتصف العبارة الاحتمالية :


P\left(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}\leq\sigma^{2}\leq\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}\right)=1-\alpha



يكون مجال الثقة المطابق .


\left[\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}},\quad \frac {(n-1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}\right]



التعريف هو نفسه كالسابق , النسبة (1-\alpha) لمجالات الثقة بهذه الطريقة ستحتوي قيمة العنصر الحقيقي \sigma^{2} .


خواص مجال الثقة:


  • تخصص مجالات الثقة احتمالات متساوية الى:


P\left(\sigma^{2}<\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}\right)=\frac{\alpha}{2},\quad P\left(  \frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}<\sigma^{2}\right)
=\frac{\alpha}{2}


  • لا يكون مجال الثقة متناظر حول تقدير النقطة s^{2} , حيث توزيع كاي مربع ليس توزيع متناظر .


  • طول مجال الثقة هو


(n-1)S^{2}\left(\frac{1}{\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}-\frac{1}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}\right)



يعتمد على قيم العينة x_{1},\ldots,x_{n} وهو متغير عشوائي . يعتمد طول المجال أيضا على حجم العينة n ودرجة الثقة 1-\alpha.