مجال الثقة لفرق متوسطين

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

مجال الثقة لفرق متوسطين,مثال : مجال الثقة لفرق المتوسطين ,أمثلة اضافية لمجالات الثقة لفرق متوسطين



H100.gif 8.8 مجال الثقة لفرق متوسطين


توجد طرق متنوعة لبناء مجال الثقة لفرق متوسطين \mu_{1}-\mu_{2} بالاعتماد على الفروض التالية :

  • في كلا المجتمعين المتغيرات العشوائية X_{1} و X_{2} لها توزيع طبيعي مع العناصر E(X_{1})=\mu_{1} و E(X_{2})=\mu_{2}

Var(X_{1})=\sigma_{1}^{2} و Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2},

X_{1}\sim N(\mu_{1};\sigma_{1}^{2}) و X_{2}\sim N(\mu_{2};\sigma_{2}^{2}).


  • نسحب عينة عشوائية من كل مجتمع (مع الاعادة) يشار لأحجام العينات بواسطة N_{1} و N_{2}على التوالي .


  • العينات العشوائية مستقلة عن بعضها البعض .

عند بناء مجالات الثقة لفرق متوسطين \mu_{1}-\mu_{2} يهتم المرء فيما اذا القيمة 0تغطى بواسطة المجال. اذا \mu_{1}-\mu_{2}=0 لا تكون عنصر في المجال عندئذ المجتمعان مختلفان على الأقل فيما يتعلق بمتوسطاتهم .

حيث X_{1} و X_{2} لهما توزيع طبيعي , \bar{X_{1}} و \bar{X_{2}} لهما أيضا توزيع طبيعي (شاهد قسم توزيع متوسط العينة). على أية حال لدينا :

Var(\bar{X_{1}}) = \sigma^{2}(\bar{X_{1}}) =\frac{\sigma^{2}_{1}}{n_{1}} E(\bar{X_{1}}) = \mu_{1}
Var(\bar{X_{2}}) = \sigma^{2}(\bar{X_{2}}) =\frac{\sigma^{2}_{2}}{n_{2}} E(\bar{X_{2}}) = \mu_{2}


بشكل مختصر:



\bar{X_{1}}\ \sim N\left(  \mu_{1};\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}\right)\qquad\bar{X_{2}}\sim N\left(  \mu_{2};\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\right)



حيث التركيبات الخطية هي توزيعات طبيعية لذلك لدينا فرق متوسطي العينتين:


D=\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}


له توزيع طبيعي مع التوقع:


E(D)=E(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})=E(\bar{X_{1}})-E(\bar{X_{2}})=\mu_{1}-\mu_{2}


والتباين:


Var(D)=\sigma_{D}^{2}=Var(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})=Var(\bar{X_{1}})+Var(\bar{X_{2}})=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}



المتغير العشوائي المعياري:


z=\frac{D-E(D)}{\sigma_{D}}=\frac{(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}


لذلك:N(0;1).


نميز بين حالتين:

  • تباينات المجتمعين \sigma_{1}^{2}و \sigma_{2}^{2} معلومة.
  • تباينات المجتمعين \sigma_{1}^{2} و \sigma_{2}^{2} مجهولة.


الحالة 1 : التباينات \sigma_{1}^{2} و \sigma_{2}^{2} للمجتمعين معلومة


اذا كلا التباينين \sigma_{1}^{2} و \sigma_{2}^{2} معلوم , لدينا مجال الثقة التالي:


\left[ (\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}},\quad(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}\right]



لأجل فرق \mu_{1}-\mu_{2} عند درجة ثقة 1 - \alpha , بمعنى :


P\left((\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}\leq\mu_{1}-\mu_{2}\leq(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)  =1-\alpha


خواص مجال الثقة :


  • تحدد مجالات الثقة هذه بواسطة احتمالات متساوية الى:


P\left(  \mu_{1}-\mu_{2}<D-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma_{D}\right)=\frac{\alpha}{2},\quad P\left(  D+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma_{D}<\mu_{1}-\mu_{2}\right)  =\frac{\alpha}{2}

  • مجال الثقة متناظر حول الفرق المقدر D .


  • طول المجال ثابت , نعطي n_{1} و n_{2} التباينات \sigma_{1}^{2} و \sigma_{1}^{2}, درجة الثقة 1-\alpha.


ملاحظة: اذا لا نستطيع افتراض المجتمعات موزعة بشكل طبيعي , لكن حجما العينتين n_{1}\geq 30 و n_{2}\geq 30, يمكن استخدام نظرية الحد المركزية لتبرير اجراء مجال الثقة , في هذه الحالة تقرب درجة الثقة الى 1-\alpha.


الحالة 2 : التباينات \sigma_{1}^{2} و \sigma_{2}^{2} للمجتمعين مجهولين


في هذه الحالة \sigma_{1}^{2} و \sigma_{2}^{2} تقدر باستعمال المقدرات غير المتحيزة والثابتة ,


s_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(x_{1i}-\bar{x_{1}})^{2}\qquad
s_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\sum\limits_{i=1}^{n_{2}}(x_{2i}-\bar{x_{2}})^{2}


اذا افترضنا تجانس التباين بمعنى \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}, ينتج المرء التقدير s^{2} للتباين المشترك \sigma^{2} وهو المتوسط الحسابي المثقل لتبايني العينتين:


s^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}


المقدر s_{D}^{2} لأجل \sigma_{D}^{2} عندئذ:


s_{D}^{2}=s^{2}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)=\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}


الانحراف المعياري s_{D} الجذر التربيعي الى s_{D}^{2} يستخدم للمعايرة المتغير العشوائي الناتج:


T=\frac{D-E(D)}{s_{D}}=\frac{(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}\cdot\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}


له توزيع-t مع درجة الحرية n_{1}+n_{2}-2 .

يمكن بناء مجال الثقة للفرق \mu_{1} - \mu_{2}:


\left[(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}s_{D},\quad(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}s_{D}\right]


وعند درجة الثقة 1 - \alpha يكون :


P\left((\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}s_{D}\quad\leq\mu_{1}-\mu_{2}\leq(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}s_{D}\right)
\approx 1-\alpha



اذا يملك المرء عدم تجانس التباين بمعنى \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} نستعمل المقدر s^{2} لأجل \sigma^{2} ويعطى بواسطة:


s_{D}^{2}=\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}


اذا حجما العينتين كبيرين بشكل كافي (n_{1}>30 و n_{2}>30) عندئذ يمكن استعمال:


\left[  (\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\,\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}},\quad(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right]


ولأجل درجة الثقة 1 - \alpha لدينا:


P\left((\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\,\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}\quad\leq\quad\mu_{1}-\mu_{2}\quad\leq\quad(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)=1-\alpha


خواص مجالات الثقة عندما التباينات مجهولة:


  • مجال الثقة متناظر حول التقدير D=\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}
  • طول مجال الثقة عشوائي حيث يعتمد على s_{1}^{2} و s_{1}^{2}
  • يعتمد مجال الثقة أيضا على أحجام العينات n_{1} و n_{2} وعلى درجة الثقة 1-\alpha