خصائص المقدرات

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

خصائص المقدرات,المثال الداعم لخواص توابع التقدير,مثال لخواص المقدرات ,المعلومات الاضافية لخصائص المقدرات


H100.gif 8.2 خصائص المقدرات


عند تقدير العناصر المعينة أو الخواص لمجتمع, توجد عدة مقدرات \hat{\theta} ممكنة .


مثال 1 :

نفترض تابع التوزيع للمجتمع متماثل, في هذه الحالة توقع المجتمع يساوي وسيط المجتمع. لذلك يمكن

تقدير التوقع المجهول باستعمال اما متوسط العينة أو وسيط العينة.

في العموم سيزود المقدرين تقديرات مختلفة , أي مقدر سيستخدم ؟


المثال 2 :

لتقدير التباين \sigma^{2} سنستعمل احدى الصيغتين التاليتين :


Mmengjavaimg1972.gif


Mmengjavaimg1973.gif


أي مقدر سيستخدم ؟


مثال 3 :

نفترض تابع التوزيع للمجتمع توزيع بواسون , لأجل توزيع بواسون E(X) = Var(X) = \lambda

يمكن تقدير العنصر المجهول \lambda باستعمال متوسط العينة أو تباين العينة , ثانية في هذه الحالة سينتج المقدرين بالعموم تقديرات

مختلفة, للحصول على المقارنة النوعية , نحتاج لفحص خواص المقدرات .


متوسط خطأ المربعات :

القياس العام لدقة مقدر هو متوسط الانحرافات المربعة أو متوسط خطأ المربعات (MSE). يقيس متوسط خطأ

المربعات (MSE) متوسط الانحرافات المربعة بين المقدر \hat{\Theta}والعنصر الحقيقي \vartheta.


MSE=E[(\hat{\Theta}-\vartheta)^{2}


ويمكن اظهار متوسط خطأ المربعات (MSE) في مركبتين:


MSE=E[(\hat{\Theta}-\theta)^{2}]=E[(\hat{\Theta}-E(\hat{\Theta}))^{2}]+[E(\hat{\Theta})-\vartheta]^{2}


العبارة الأولى على الجهة اليمنى هو تباين \hat{\Theta}


E[(\hat{\Theta}-E(\hat{\Theta}))^{2}]=Var(\hat{\Theta})


العبارة الثانية هي مربع الانحرافات E(\hat{\Theta})- \vartheta. لهذا متوسط خطأ

المربعات هو مجموع التباين والانحرافات المربعة للمقدر.


Mmengjavaimg2076.gif


اذا وجدت عدة مقدرات للعنصر المجهول للمجتمع سيختار الشخص "المقدر" الذي له متوسط خطأ المربعات الأقل.

نبدأ مع متوسط خطأ المربعات سيتم عرض الخواص الهامة الثلاثة للمقدرات والتي تسهل البحث لأجل المقدر الأفضل.


عدم التحيز:


المقدر \hat{\Theta} للعنصر المجهول \vartheta غير متحيز . اذا توقع المقدر يساوي قيمة العنصر الحقيقي :


E(\hat{\Theta})=\vartheta


حيث متوسط توزيع العينة \hat{\Theta} يساوي لقيمة العنصر الحقيقي \vartheta.

لأجل المقدر غير المتحيز متوسط خطأ المربعات يساوي لتباين المقدر.


MSE=Var(\hat{\Theta})


لهذا يعطي تباين المقدر قياس جيد لدقة المقدر.

اذا المقدر غير متحيز عندئذ توقع المقدر مختلف عن قيمة العنصر الحقيقية ,ذلك يعني


 \mbox{bias}(\hat{\Theta})=E(\hat{\Theta})-\vartheta\neq0


تقارب عدم التحيز:

يدعى المقدر \hat{\Theta} بتقارب عدم التحيز اذا


\lim_{n\rightarrow\infty}E(\hat{\Theta})=\vartheta


بمعنى يقترب التحيز للصفر مع زيادة حجم العينة n .


الفعالية


عندما توجد عدة مقدرات غير متحيزة لنفس العنصر, في هذه الحالة سيختار المرء المقدر مع التباين الأصغر (الذي هو في هذه الحالة مساوي لمتوسط خطأ المربعات).

ندع \hat{\Theta}_{n} و \hat{\Theta}_{n}^{\star} مقدرين غير متحيزين

الى \vartheta باستعمال حجم العينة n. يدعى المقدر\hat{\Theta}_{n} بالفعال نسبيا الى \hat{\Theta}_{n}^{\star} اذا تباين \hat{\Theta}_{n} أصغر من تباين \hat{\Theta}_{n}^{\star} بمعنى:


Var(\hat{\Theta}_{n})<Var(\hat{\Theta}_{n}^{\star})


يدعى المقدر \hat{\Theta}_{n} بالفعال اذا تباينه أصغر من تباين أي مقدر غير متحيز أخر.


التقارب


التقارب لمقدر هي الخاصة التي تركز على تصرف المقدر في العينات الكبيرة . في العموم يتطلب التقارب بأن

المقدر يقترب لقيمة العنصر الحقيقية مع احتمال عالي في العينات الكبيرة .يكون كافي اذا تحيز وتباين

المقدر يقترب للصفر. نفترض


\lim_{n\rightarrow\infty}[E(\hat{\Theta}_{n})-\vartheta]=0


و


\lim_{n\rightarrow\infty}Var(\hat{\Theta}_{n})=0


عندئذ المقدر متقارب. بشكل مكافئ سيلخص الشرطيين باستعمال:


\lim_{n\rightarrow\infty}MSE(\hat{\Theta}_{n})=0


ويشير مفهوم التقارب كتقارب المتوسطات المربعة. كصيغة بديلة والمعروفة كتقارب ضعيف تعرف كالتالي:


\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\hat{\theta}_{n}-\vartheta|<\epsilon)=1


هذا يعني ينتج احتمال المقدر \hat{\Theta}_{n} للقيم ضمن المجال الصغير حول العنصر الحقيقي \vartheta.

تقترب القيمة للواحد مع زيادة حجم العينة n. يختلف احتمال المقدر \hat{\Theta}_{n} عن قيمة العنصر الحقيقي بأكثر من \epsilon>0. يقترب للصفر مع زيادة حجم العينة n ذلك يعني


\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\hat{\Theta}_{n}-\vartheta|\geq\epsilon)=0