تقريب التوزيعات

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

تقريب التوزيعات , المثال الداعم لتقريب التوزيعات ,مثال للتقريب



H100.gif 6.9 تقريب التوزيعات


يعني التقريب بأنه تحت الشروط المعينة, يزود للتوزيع الأخر بوصف للبيانات التي تكون مشابهة لتوزيع

البيانات من العينة. تزود نظريات الحدود (مثال: نظرية النهاية المركزية ) الأداة النظرية لاشتقاق مثل

هذه التقريبات. تستعمل نظريات الحدود لتقريب عدد التوزيعات العامة. وهذه التوزيعات تقريبات

للتوزيع الحقيقي , توجد بعض الأخطاء في التقريب. على أية حال توجد طرق لتقييم نوعية التقريب.

بشكل متتالي نعرض التقريبات لعدد التوزيعات بالاضافة لبعض المعايير التي تستخدم لتقييم نوعية هذه التقريبات.


التوزيع الطبيعي كتقريب للتوزيعات الأخرى :


تقريب توزيع ذو الحدين بواسطة التوزيع الطبيعي:


يبنى هذا التقريب على قانون لابلاس ونظرية الحدود. نعتبر X_{1},\ldots,\;X_{n}

مستقلة, توزع تجربة بيرنولي المتغيرات العشوائية مع E(X_{i})=p و

Var(X_{i})=p(1-p) لأجل i عندئذ

X=X_{1}+\ldots +X_{n} هو متغير عشوائي مع التوزيع الثنائي ( B(n,p

القيمة المتوقعة E(X) = np والتباين Var(X) = np(1-p)

لأجل n\rightarrow \infty توزيع المتغير العشوائي المعياري


Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}


يقترب للتوزيع الطبيعي المعياري N(0;1) لأجل n كبيرة لدينا:


X_n \approx N(np;\sqrt{np(1-p)})


مع القيمة المتوقعة \mu = np والتباين \sigma^2 =np(1-p)


التوزيع الثنائي منقطع والتوزيع الطبيعي مستمر نحسن نوعية التقريب باستعمال معامل التصحيح:


P(X \leq x) = F_B(x;n,p) \approx \Phi \left(\frac{x + 0.5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)


P(X = x) = f_B(x;n,p) \approx \Phi \left( \frac{x + 0.5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right) - \Phi \left( \frac{x - 0.5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)


أي تتطلب قاعدة التقريب للتقريب الجيد للتوزيع الثنائي:

np \geq 5 و n(1-p)\geq 5.


تقريب توزيع بواسون بواسطة التوزيع الطبيعي :

يمكن اشتقاق توزيع بواسون مع \lambda= np من التوزيع الثنائي. ويقرب التوزيع

الثنائي بواسطة التوزيع الطبيعي لذلك نقترح بأن التوزيع الطبيعي يقرب أيضا توزيع بواسون.

نعتبر X متغير عشوائي مع التوزيع   PO   (  \lambda  ) عندئذ لأجل \lambda كبيرة

نقرب توزيع بواسون بواسطة التوزيع الطبيعي مع القيمة المتوقعة \mu =\lambda والتباين \sigma^{2}=\lambda (مع معامل التصحيح) :


P(X \leq x) = F_{PO}(x;\lambda) \approx \Phi \left( \frac{x + 0.5 - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)



تتطلب قاعدة التقريب


10 Mmengjavaimg1559.gif


تقريب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الطبيعي


نعتبر nM/N\geq 5,\; n(1-M/N)\geq 5 و n/M\leq 0.05 عندئذ سيقرب المتغير العشوائي مع التوزيع الهندسي باستعمال التوزيع الطبيعي مع العناصر:


E(X) = \mu = n \cdot \frac{M}{N} \quad Var(X) = \sigma^2 = n \cdot \frac{M}{N}\cdot\left(1-\frac{M}{N} \right)



نستعمل أيضا معامل التصحيح لتحسين التقريب.


تقريب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الثنائي


تستعمل التوزيعات الثنائية والهندسية طرق عينات مختلفة. يستعمل التوزيع الثنائي السحوبات مع

الاعادة بينما يستعمل التوزيع الهندسي السحوبات بدون اعادة. لما M و N تزداد, M/N تقترب الى

الثابت P, يصبح الاختلاف بين هذين التوزيعين أصغر كثيرا. لما N\rightarrow\infty و M \rightarrow\infty يقترب التوزيع الهندسي للتوزيع الثنائي. هنا يدل لأجل N كبيرة و

M بالاضافة n/N صغيرة, يمكن تقريب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الثنائي مع العناصر p=M/N

تتطلب قاعدة التقريب

n/N\leq 0,05


تقريب التوزيع الثنائي بواسطة توزيع بواسون


نستطيع اشتقاق توزيع بواسون أيضا من التوزيع الثنائي. لذلك, يمكن تقريب التوزيع الثنائي بواسطة

توزيع بواسون PO(\lambda =np), اذا n كبيرة والاحتمال p صغير.


قاعدة التقريب هي: n > 30 و p \leq 0.05