تقدير المجال

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

H100.gif 8.4 تقدير المجال


نتذكر أن المقدر \widehat{\vartheta} للعنصر \vartheta هو متغير عشوائي

حتى اذا المقدر له خواص مفضلة (كالثبات والفعالية) لا يستطيع المرء التحديد من تقدير النقطة فقط

فيما اذا هو تقريب جيد للعنصر الحقيقي. لتزويد المعلومات حول دقة اجراء التقدير يطبق المرء عادة

تقدير المجال. ينتج تقدير المجال للعنصر المجهول \vartheta المجال كالتالي:

  • احتمال نتائج اجراء التقدير في المجال الذي يحتوي قيمة العنصر الحقيقي \vartheta مساوية للاحتمال المعطى 1 -\alpha .

يدعى مثل هذا المجال بمجال الثقة والاحتمال المطابق درجة الثقة.

يبنى تقدير المجال على :

  • العينة العشوائية من الحجم n مع الاعادة X_{1},\ldots,X_{n},.
  • تحديد قيمتين عشوائيتين


V_{L}=g_{L}(X_{1},\ldots,X_{n})\mbox{  }\quad V_{U}=g_{U}(X_{1},\ldots,X_{n})



لأجل الحد الأدنى والأعلى للمجال.

اذا هذه التوابع كافية يكون الشرط


P(V_{L}\leq\vartheta\leq V_{U})=1-\alpha


عندئذ تنتج المجال [V_{u};V_{o}] لأجل \vartheta مع درجة ثقة 1-\alpha. ذلك يعني احتمال المجال يحتوي القيمة الحقيقية \vartheta في العينات المكررة يساوي 1-\alpha.

للعينة المحددة x_{1},\ldots,x_{n} سنشير لمجال الثقة الفعلي مع الأحرف الصغيرة [v_{u};v_{o}].

بشكل عام \alpha مختارة لذلك درجة الثقة 1 - \alpha عالية مثال: 0,90, 0,95 أو 0,99.

من الأساسي فهم تعريف مجال الثقة.

قبل سحب العينة حدود مجال الثقة هي متغيرات عشوائية حيث V_{u} و V_{o}

توابع المتغيرات العشوائية حينئذ مجال عشوائي [V_{u};V_{o}]

1 - \alpha احتمال اجراء التقدير ينتج مجالات تحتوي القيمة الحقيقية للعنصر \vartheta

بشكل مختلف اذا أعيد تقدير المجال مرات عديدة عندئذ (1 - \alpha)100% من المجالات

ستحتوي \vartheta وبالمقابل \alpha \cdot 100% من المجالات لا تحوي \vartheta

أحيانا سحبت البيانات تستبدل القيم الفعلية x_{1},\ldots ,x_{n} الى V_{u}و V_{o} سيقود لمجال الثقة الفعلي [V_{u};V_{o}] الحدود V_{u} و V_{o} هي قيم ثابتة فيما اذا يقع العنصر المجهول \vartheta ضمن مجال التقدير أو لا يقع .

اذا احدى الحدين غير محدد عندئذ نحصل على مجالات الثقة الأحادية الجانب:

  • اذا V_{u}=-\infty عندئذ نحصل على مجال الثقة الأدنى (-\infty,V_{o}] مع P(\vartheta \leq
V_{o}) = 1- \alpha.
  • اذا V_{o}=+\infty عندئذ نحصل على مجال الثقة الأعلى [V_{u},+ \infty) مع P(V_{u}\leq\vartheta)=1-\alpha.

على سبيل المثال مجال الثقة الأعلى الأحادي الجانب مهم اذا أردنا بعض الضمانات بأن العنصر لا يتجاوز قيمة معينة.

مجالات الثقة الثنائية الجانب [V_{u};V_{o}] تستخدم عندما كلا الحدين الأعلى والأدنى لعنصر مجهول مهم.

مع مجالات الثقة الثنائية الجانب الفرق V_{o} -V_{u} يشير لطول المجال (أو العرض ). يعتمد

طول المجال عموما على درجة الثقة 1 - \alpha وعلى حجم العينة n.

لما حجم العينة n ثابت أي زيادة في درجة الثقة 1 - \alpha سيؤدي ذلك لزيادة طول مجال الثقة حينئذ بدقة أعلى.

العنصر المجهول \vartheta سيتوضع ضمن المجال بدقة أقل من موقعه. من جهة أخرى زيادة حجم العينة n بينما درجة الثقة 1-\alpha ثابتة, في العموم هو تصغير لمجال الثقة.

توجد طرق مختلفة لبناء مجال الثقة. في العينات المكررة وستحتوي العنصر الحقيقي مع الاحتمال 1-\alpha الطريقة الملائمة لتحديد مجال الثقة الثنائي الاتجاه يتطلب أن يحتوي كل طرف احتمال \alpha/2تلك الحدود V_{u} و V_{o}. مبنية كالتالي:


P(\vartheta<V_{u})=\alpha/2\quad\mbox{  }\quad P(V_{o}<\vartheta)=\alpha/2

ولذلك


P(\vartheta<V_{u})+P(V_{o}<\vartheta)=\alpha/2+\alpha/2=\alpha.


سيتركز نقاشنا لمجالات الثقة على هذه المجالات المتساوية سنرى عندما توزيع العينة للمقدر متناظر ستكون مجالات الثقة الناتجة متناظرة حول القيمة المقدرة.


لتحديد حدود مجال الثقة يستخدم المقدر \widehat{\theta} بشكل عام لذلك الخطأ المعياري التقديري له \sigma(\widehat{\theta}) سيلعب عادة دور مباشر في تحديد عرض مجال الثقة.

بالاضافة تكون مجالات الثقة عادة لها الصيغة:


\lbrack V_{u},V_{o}]=[\widehat{\Theta}-|c_{\alpha /2}|\cdot\sigma(\widehat{\Theta})\quad\widehat{\Theta}+|c_{1- \alpha /2}|\cdot\sigma(\widehat{\Theta})]



حيث c الصيغة المحددة لتوزيع العينة الى \widehat{\theta} وتعتمد على  \alpha يعطى مستوى الثقة المطابق بواسطة:


P(V_{u}\leq\vartheta\leq V_{o})=P(\widehat{\Theta}-|c_{\alpha/2}|\cdot\sigma(\widehat{\Theta})\leq\vartheta\leq\widehat{\Theta}+|c_{1-\alpha/2}|\cdot\sigma(\widehat{\Theta}))=1-\alpha