بناء المقدرات

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

بناء المقدرات,مثال: تقدير الامكانية العظمى للتوزيع الأسي,مثال : تقدير الامكانية العظمى لتوزيع بواسون ,المعلومات الاضافية لتطبيقات طريقة الامكانية العظمى




H100.gif 8.3 بناء المقدرات


سنناقش في هذا الفصل المبادئ لبناء المقدرات لعنصر مجهول. رأينا سابقا كيف مقدرات العينة تستخدم لتقدير مقدرات المجتمع.

مثال: متوسط العينة , يستخدم التباين أو النسبة لتقدير متوسط المجتمع المطابق التباين أو النسبة هذا المبدأ معروف كطريقة العزوم. نعتبر الأن مبدأين أخرين الامكانية العظمى والمربعات الأقل.

الامكانية العظمى

مفهوم الامكانية العظمى هو واحد من اجراءات التقدير الأكثر الأهمية.

نفترض المتغير العشوائي المستمر أو المنقطع X له تابع الكثافة الاحتمالي f(x|\vartheta). في المجتمع.

الشرط الهام لنظرية الامكانية العظمى هو نوع التوزيع اللازم ليكون معروف للتقدير . يعتمد التوزيع على العنصر المجهول \vartheta.

مثال 1 : نفرض السحب من التوزيع الثنائي حيث تابع الاحتمال f(x|\vartheta) هو B(n;\pi), والذي يعتمد على العنصر المجهول \pi.

مثال 2 : نفرض السحب من التوزيع الطبيعي, عندئذ تابع الكثافة الاحتمالي f(x|\vartheta) هو Mmengjavaimg2136.gif والذي يعتمد على العناصر المجهولة \mu و \sigma^{2} .

العينة العشوائية من الحجم n المسحوبة من التوزيع f(x|\vartheta) لهذا المتغيرات العشوائية (X_{i},\ldots,X_{n}) موزعة بشكل مستقل ومتماثل مع الاحتمال f(x_{i}|\vartheta) لأجل i = 1, \ldots, n. حيث المشاهدات مستقلة.

التوزيع المشترك لكل المتغيرات العشوائية يساوي لجداء توزيعاتهم الفردية.


P(\{X_{1}=x_{1}\}\cap\ldots\cap\{X_{n}=x_{n}\}|\theta)=f(x_{1},\ldots,x_{n}|\vartheta)=f(x_{1}|\vartheta)\cdot\ldots\cdot f(x_{n}|\vartheta)



بمعنى ينبغي السؤال الأن ما هو الاحتمال (أو الكثافة الاحتمالية) لسحب هذه العينة لأجل قيم مختلفة للعنصر المجهول \vartheta

رياضيا نعرف تابع الامكانية العظمى Mmengjavaimg2158.gif ليكون تابع \vartheta الشرطي على البيانات Mmengjavaimg2159.gif ذلك يعني :


L(\vartheta|x_{1},\dots,x_{n})=f(x_{1}|\vartheta)\cdot\ldots\cdot
f(x_{n}|\vartheta)=\prod\limits_{i=1}^{n}f(x_{i}|\vartheta)


يعطى Mmengjavaimg2158.gif الاحتمال (أو الكثافة الاحتمالية) للعينة الحقيقية Mmengjavaimg2159.gif عند كل قيمة من \vartheta

يحدد مبدأ الامكانية العظمى بأن المرء سيختار القيمة \widehat{\vartheta} التي تعظم تابع الامكانية.


L(\hat{\vartheta})=\max_{\vartheta}L(\vartheta)


تحت الشروط العامة L(c) له قيمة عظمى , الشرط الضروري هو المشتق الأول يساوي الصفر.


\frac{\partial L(\widehat{\vartheta})}{\partial\vartheta}=0


بشكل أبسط انه هام لنأخذ اللوغارتم ln\; L(\widehat{\vartheta}) ينتج تابع لوغارتم الامكانية العظمى حيث يؤسس اللوغارتم للتحويل, تعظيم ln\; L(\widehat{\vartheta})

يحدث عند نفس النقطة من \widehat{\vartheta} كتابع امكانية يصبح الشرط الأول:


\frac{\partial\log L(\widehat{\vartheta})}{\partial\vartheta}=0



مقدر الامكانية العظمى الناتج \widehat{\vartheta} درس بشكل واسع ومعروف للعديد من الخواص الهامة تحت الشروط العامة. بينها انه ثابت وطبيعي متناظر وفعال في العينات الكبيرة.


تقدير المربعات الصغرى: نفترض توقعات المتغيرات العشوائية X_{1},\ldots,X_{n} تعتمد على العنصر المجهول \vartheta عبر التوابع المعروفة Mmengjavaimg2168.gif


E(X_{i})=g_{i}(\vartheta)\qquad i=1,\ldots,n


في الحالة الأبسط g_{i}(\vartheta)=\vartheta \forall i.


البيانات المعطى x_{1},\ldots,x_{n} عندئذ نختار المقدر \widehat{\vartheta} بواسطة تصغير مجموع الانحرافات المربعة للبيانات عن g_{i}(\widehat{\vartheta}) بمعنى :


Q(\widehat{\vartheta})=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-g_{i}(\vartheta))^{2}


له القيمة الأدنى سيوجد الحل بواسطة التفاضل الى \vartheta ووضع المشتق الأول مساوي للصفر. التصغير الناتج \widehat{\vartheta} يدعى بمقدر المربعات الأقل.

مقدرات المربعات الأقل لها الخواص المعينة, هذه المقدرات ثابتة طبيعية وفعالة في العينات الكبيرة.