الوصف العددي للتوزيعات التكرارية أحادية البعد

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

المحتويات ,الوصف العددي للتوزيعات التكرارية أحادية البعد , مثال لعرض التوزيعات الأحادية البعد ,قيم الوسط



H100.gif 2.4 الوصف العددي للتوزيعات التكرارية أحادية البعد


تلخص الاحصائية الميزات الخاصة بالبيانات, رسميا ,الاحصائية هي تابع البيانات , وتستعمل لقياس الميزات المختلفة, كمثال توضع البيانات عموما (مقاييس النزعة المركزية ),درجة توزع البيانات (مقاييس التشتت) وفيما اذا تتوزع البيانات بشكل منتظم, درجة ارتباطها ببعضها. سنعتبر في الأقسام التالية المقاييس المتنوعة للنزعة المركزية والتشتت , تستخدم هذه المقاييس لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة.


H100.gif 2.4.1 مقاييس النزعة المركزية

تزود مقاييس النزعة المركزية توضع البيانات أو تركزها.


H100.gif المنوال

تدعى القيمة التي تظهر بشكل تكراري أكثر في مجموعة البيانات بالمنوال. اذا المتغير منقطع, المنوال هو القيمة مع التكرار الأكبر. للبيانات المستمرة المقاسة بالدقة الكافية, على أية حال أغلب المشاهدات الملاحظة تنقل الفكرة بلا معنى, على أية حال بواسطة تبويب البيانات نستطيع تحديد فئة المنوال, بمعنى : الفئة ذات التكرار الأعلى.

يعطى المنوال للبيانات المنفصلة أو النوعية بواسطة:


Mmengjavaimg247.gif



المنوال للبيانات المستمرة المبوبة


فئة المنوال هي الفئة ذات التكرار الأكبر , كما يتألف مجال الفئة من العديد من الأعداد غير المنتهية, نقدم الاصطلاح البسيط , الاصطلاح البسيط هو استعمال مركز الفئة لفئة المنوال. تتضمن تسوية تقنية بديلة لاختيار النقطة التي تتحرك نحو الخلية المجاورة مع الكثافة العالية للمشاهدات . تعرف كالتالي :


Mmengjavaimg248.gif


الحد الأدنى / الأعلى لفئة المنوال Mmengjavaimg16.gif ,Mmengjavaimg15.gif

التوزيع التكراري لفئة المنوال Mmengjavaimg249.gif

التوزيع التكراري للفئة السابقة لفئة المنوال Mmengjavaimg250.gif

التوزيع التكراري للفئة التالية لفئة المنوال Mmengjavaimg251.gif



مثال : عمر 100 مصباح , العمر (الساعات)



Mmengjavaimg14.gif العمر (بالساعات) Mmengjavaimg4.gif Mmengjavaimg72.gif Mmengjavaimg73.gif Mmengjavaimg252.gif Mmengjavaimg188.gif
Mmengjavaimg77.gif Mmengjavaimg205.gif Mmengjavaimg77.gif Mmengjavaimg206.gif Mmengjavaimg77.gif Mmengjavaimg206.gif
Mmengjavaimg86.gif Mmengjavaimg207.gif Mmengjavaimg208.gif Mmengjavaimg209.gif Mmengjavaimg253.gif Mmengjavaimg211.gif
Mmengjavaimg91.gif Mmengjavaimg212.gif Mmengjavaimg213.gif Mmengjavaimg214.gif Mmengjavaimg144.gif Mmengjavaimg216.gif
Mmengjavaimg96.gif Mmengjavaimg217.gif Mmengjavaimg218.gif Mmengjavaimg219.gif Mmengjavaimg91.gif Mmengjavaimg220.gif
المجموع Mmengjavaimg106.gif Mmengjavaimg220.gif



فئة المنوال : Mmengjavaimg254.gif


يقرب المنوال بواسطة مركز الفئة لفئة المنوال Mmengjavaimg255.gif


باستعمال الصيغة السابقة نحصل على :

Mmengjavaimg256.gif


H100.gif الربيعات


البيانات المعطاة Mmengjavaimg257.gif ,نفرض البيانات ترتب أو تصنف في ترتيب متزايد للحصول على السلسلة المرتبة Mmengjavaimg258.gif . وندعو عناصر هذه السلسلة بالترتيب الاحصائي للبيانات, نستطيع القراءة فورا من الترتيب الاحصائي القيمة الكبرى الثالثة والقيمة الصغرى وهكذا.

Mmengjavaimg259.gif هو العدد بين الصفر والواحد ويشار الى Mmengjavaimg259.gif كنسبة البيانات . القيمة التي تقسم سلسلة الترتيب الاحصائي لمجموعتين ثانويتين تحتوي الأولى Mmengjavaimg260.gif والأخيرة Mmengjavaimg261.gif مشاهدات أو مايدعى Mmengjavaimg259.gif , سنحدده بواسطة Mmengjavaimg262.gif . بشكل مكافئ, نعتقد أن Mmengjavaimg262.gifهي القيمة الىMmengjavaimg263.gif للبيانات المتوضعة تحت و Mmengjavaimg264.gif للبيانات المتوضعة فوق.



الربيعات للبيانات غير المبوبة

Mmengjavaimg265.gif هو عدد صحيح و Mmengjavaimg61.gif العدد الصحيح الأصغر الكافي Mmengjavaimg266.gif, عندئذ نعرف Mmengjavaimg267.gif , الربيع لهذه المشاهدة مع الرتبة Mmengjavaimg61.gif, Mmengjavaimg268.gif.


لدينا Mmengjavaimg269.gif عدد صحيح , سنأخذ Mmengjavaimg270.gif ليكون مركز النقطة بين Mmengjavaimg268.gif و Mmengjavaimg271.gif


الربيعات للبيانات المبوبة

للبيانات المبوبة في فئات , سندعم الاستكمال مابين حدود الفئة للحصول على الربيع Mmengjavaimg259.gif:


Mmengjavaimg272.gif


Mmengjavaimg15.gif, Mmengjavaimg16.gifو Mmengjavaimg73.gif, هي الحد الأدنى , الحد الأعلى والتكرار النسبي للفئة المحتواة للربيع Mmengjavaimg259.gif,يتضمن التكرار التجميعي النسبي الفئة السابقة لفئة الربيع التي ترمز Mmengjavaimg225.gif.

يعرف الربيع Mmengjavaimg262.gif باستعمال التدرج , مبدأ التدرج للربيع Mmengjavaimg273.gif يفهم بسهولة من الرسم البياني التالي :


Folimg85.gif


Folimg86.gif


بعض الربيعات الخاصة:

الربيعات العشرية تقسم المشاهدات المرتبة لعشر أجزاء متساوية. Mmengjavaimg274.gif العشرية : Mmengjavaimg275.gif

الربيعات الخماسية - تقسم المشاهدات المرتبة لخمس أجزاء متساوية. Mmengjavaimg276.gif الربيعات: Mmengjavaimg277.gif

الربيعات الرباعية - تقسم المشاهدات المرتبة لأربع أجزاء متساوية .Mmengjavaimg278.gif الربيعات : Mmengjavaimg279.gif


الوسيط (القيمة المركزية)

تدعى القيمة التي تقسم المشاهدات المرتبة لجزئين متساويين بالوسيط Mmengjavaimg280.gif, الوسيط أقل حساسية بكثير لتباعد أو تطرف المشاهدات من القياسات الأخرى كالوسط الحسابي .

يطابق الوسيط Mmengjavaimg281.gif للربيع الثاني Mmengjavaimg282.gif


(1) البيانات غير المبوبة

n فردي : Mmengjavaimg283.gif


n زوجي : Mmengjavaimg284.gif


المتغيرات المبوبة


الوسيط للبيانات المبوبة هو مركز الفئة التي تحتوي الجزء المركزي للبيانات , Mmengjavaimg15.gif و Mmengjavaimg16.gif هي الحدود الدنيا و العليا للفئة أي Mmengjavaimg285.gif


Mmengjavaimg286.gif


عندئذ سيحدد الوسيط بسهولة من الرسم البياني لتابع التوزيع Mmengjavaimg287.gif , شاهد الرسوم البيانية التالية :


Folimg94.gif



Folimg95.gif



خواص الوسيط (لمتغيرات عددية) :


المثالية:


Mmengjavaimg288.gif


الوسيط مثالي بمعنى يقلل مجموع الانحرافات المطلقة للمشاهدات عن النقطة التي تتوضع في وسط البيانات.


التحويل الخطي : Mmengjavaimg289.gif


اذا البيانات محولة خطيا, عندئذ يحول الوسيط بنفس التحويل الخطي .


مثال :


الدخل الصافي الشهري للأسر1998 , (حتى 25000 مارك ألماني ):


مجال الدخل نسبة الأسر تابع التوزيع التجريبي
(DM) Mmengjavaimg290.gif Mmengjavaimg291.gif
1-800 0.044 0.044
800-1400 0.166 0.210
1400-3000 0.471 0.681
3000-5000 0.243 0.924
5000-25000 0.076 1.000



الشكل البياني لتابع التوزيع التجريبي :


Folimg99.gif


حساب الربيعات :

يتضمن تابع التوزيع التجريبي (العمود الثالث للجدول) الربيع الأول Mmengjavaimg292.gif , والربيع الثاني Mmengjavaimg293.gif, الذي يخص الفئة الثالثة (3000-5000 DM) نجد بالحساب التالي:


Mmengjavaimg294.gif


Mmengjavaimg295.gif


Mmengjavaimg296.gif


التفسير :

الربيع الأول: 25 % من الأسر لها دخل شهري صافي لايتجاوز 1535.88 DM و 75% من الأسر لها دخل أعلى من 1535.88 DM مارك ألماني .


الربيع الثاني- الوسيط : 50% من الأسر لها دخل أصغر من 2385.14 DM و 50% من الأسر لها دخل أعلى من 2385.14 DM


الربيع الثالث : 75% من الأسر لها دخل أقل من 3567.90 DM و 25 % من الأسر لها دخل يتجاوز 3567.90 DM نشير للأعلى بأن 50% من الأسر لها دخل صافي ما بين 1535.88 DM و 3567.90 DM


H100.gif الوسط الحسابي


الرمز: Mmengjavaimg297.gif


نحصل على الوسط الحسابي أو المتوسط بمجموع كل المشاهدات و تقسيمها على Mmengjavaimg63.gif , الوسط الحسابي حساس للقيم المتطرفة . عمليا , تميل القيمة المتطرفة لسحب الوسط الحسابي في اتجاهها .

يحسب الوسط الحسابي بطرق متنوعة: باستعمال البيانات الأصلية , باستعمال التوزيع التكراري وباستعمال التوزيع التكراري النسبي .


الحساب باستعمال البيانات الأصلية :


Mmengjavaimg299.gif Mmengjavaimg298.gif


الحساب باستعمال التوزيع التكراري والتكراري النسبي :


Mmengjavaimg300.gif



خواص الوسط الحسابي  :


الخاصة الصفرية : مجموع انحرافات البيانات عن الوسط الحسابي يساوي الصفر.


Mmengjavaimg301.gif


مجموع المربعات الأقل : مجموع مربعات انحرافات البيانات عن الوسط الحسابي أصغر من مجموع مربعات الانحرافات عن أي نقطة أخرى c .


Mmengjavaimg302.gif


Mmengjavaimg303.gif


البيانات المثقلة: نفرض البيانات المشاهدة تكون في المجموعات المنفصلة Mmengjavaimg304.gif, عندئذ الوسط الحسابي Mmengjavaimg305.gif لكل من المجموعات معروف , عندئذ الوسط الحسابي لكل القيم المشاهدة (نعتبرها كمجموعة واحدة ) سيحسب باستعمال الصيغة:


Mmengjavaimg306.gif


حيث Mmengjavaimg307.gif تشير لعدد المشاهدات في المجموعة Mmengjavaimg259.gif (Mmengjavaimg308.gif)

التحويل الخطي :


Mmengjavaimg309.gif


المجموع


Mmengjavaimg310.gif


مثال 1 :

الدخل الشهري للأسر في 1998 :


مجال الدخل DM نسبة الأسر( f(x (F(x
1-800 0.044 0.044
800-1400 0.166 0.210
1400-3000 0.471 0.681
3000-5000 0.243 0.924
5000-25000 0.076 1.000


حساب الوسط الحسابي باستعمال مراكز الفئات :


Mmengjavaimg311.gifDM


الوسط الحسابي 3348.4 DM أعلى من الوسيط المحسوب(2385.14 DM) . يوضح ذلك بـأن الوسط الحسابي أكثر حساسية للعدد الصغير نسبيا من الدخول العالية. تغير القيم العالية الوسط الحسابي , ولكنها لاتؤثر على الوسيط .


مثال 2 : الدخل الشهري 716 شخص .

Mmengjavaimg312.gif = DM 1881.40

Mmengjavaimg313.gif = 1092.50 DM

Mmengjavaimg314.gif=1800 DM

Mmengjavaimg315.gif = DM 2400

المنوال = 2000 DM