التوزيع الطبيعي

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

التوزيع الطبيعي,المثال التفاعلي للتوزيع الطبيعي,المثال الداعم للتوزيع الطبيعي ,المعلومات للتوزيع الطبيعي



H100.gif 6.7 التوزيع الطبيعي


يوزع المتغير العشوائي المستمر X توزيعا طبيعيا مع العناصر Mmengjavaimg950.gif و Mmengjavaimg1386.gif ويشار له Mmengjavaimg1387.gif اذا وفقط اذا تابع كثافته الاحتمالي  :


Mmengjavaimg1388.gif



تابع التوزيع له:



Mmengjavaimg1389.gif



يعتمد التوزيع الطبيعي على العنصرين Mmengjavaimg950.gif و Mmengjavaimg945.gif , أي القيمة المتوقعة والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X


القيمة المتوقعة, التباين و الانحراف المعياري



Mmengjavaimg1390.gif


خاصتان هامتان للمتغيرات العشوائية الطبيعية :


التحويل الخطي:


لدينا X موزع توزيع طبيعي Mmengjavaimg1391.gif و Y هو تركيب خطي الى X: Mmengjavaimg1392.gif

عندئذ المتغير العشوائي Y له التوزيع الطبيعي أيضا :


Y \sim N(a + b \mu,\;|b| \cdot \sigma)


قيم العناصر للمتغير العشوائي المحول , يتبع من قواعد الحساب مع القيم المتوقعة و التباينات:


E(a + bX) = a + b \cdot E(X)


Var(a + bX) = b^2 Var(X) = b^2 {\sigma}^2.


خاصة اعادة الانتاج  : دعنا نعتبر المتغيرات العشوائية n Mmengjavaimg1396.gif مع التوزيعات الطبيعية Mmengjavaimg1397.gif



مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا والمستقلة Mmengjavaimg1398.gif , بمعنى


Mmengjavaimg1399.gif


لأجل واحد على الأقل , ويكون له توزيع طبيعي ثانية



Mmengjavaimg1400.gif


يعرض الشكل البياني تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي ( N(2;1



تابع الكثافة الاحتمالي


S2 26 12.gif


تابع التوزيع


S2 26 13.gif




المتغير العشوائي المعياري:


Mmengjavaimg1401.gif


يشير المتغير العشوائي Z بالمتغير العشوائي المعياري الذي يتمركز حول متوسطه ويقاس بانحرافه المعياري.

اذا X موزع طبيعيا, عندئذ Z له التوزيع الطبيعي أيضا.


التوزيع الطبيعي المعياري :


يشار التوزيع Z عادة بالتوزيع الطبيعي المعياري (1 ; 0 ) N .


تابع الكثافة الاحتمالي للتوزيع الطبيعي المعياري:


Mmengjavaimg1402.gif


تابع التوزيع للتوزيع الطبيعي المعياري:


Mmengjavaimg1403.gif


القيمة المتوقعة و التباين للتوزيع الطبيعي المعياري :


Var(Z) = 1 E(Z) = 0


يعرض تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي الطبيعي المعياري بالأشكال التالية:

تابع الكثافة الاحتمالي (N(0;1



S2 26 14.gif


تابع التوزيع (N(0;1


S2 26 15.gif


العلاقة بين التوزيع الطبيعي و التوزيع الطبيعي المعياري N( Mmengjavaimg1405.gif )


Mmengjavaimg1406.gif


أي يشار:


Mmengjavaimg1407.gif



مجال الثقة:


مجال الثقة للمتغير العشوائي X المجال مع الحدود Mmengjavaimg200.gif و Mmengjavaimg1408.gif

أي سيحتوي قيمة المتغير العشوائي X مع الاحتمال ( Mmengjavaimg1409.gif - 1 ), بمعنى (Mmengjavaimg1409.gif -1 .100% ) من كل قيم X التي ستقع في هذا المجال و (Mmengjavaimg1409.gif.100% ) ستقع خارج المجال (Mmengjavaimg1409.gif - 1 ) يشار عادة كدرجة ثقة.


للقيم المعروفة من Mmengjavaimg925.gif القيمة المتوقعة من X, يبنى المجال لجعل احتمال X يقع خارج هذه المنطقة ( توجد منطقتين) مع الاحتمال 2 / Mmengjavaimg1409.gif

ندعو المجال


(Mmengjavaimg1412.gif) = (Mmengjavaimg1411.gif )


مجال الثقة المتناظر مع درجة الثقة .


Mmengjavaimg1409.gif - 1 =(Mmengjavaimg1413.gif P )


لتأكيد على أهمية الانحراف المعياري كعنصر قياس , انحراف X عن قيمته المتوقعة Mmengjavaimg950.gif يقاس عادة بالجداء من Mmengjavaimg945.gif

مجال الثقة له الصيغة



X Mmengjavaimg1414.gif c - Mmengjavaimg950.gif


اذا المتغير العشوائي X هو N( Mmengjavaimg1405.gif ) عندئذ لأجل Mmengjavaimg945.gif c + Mmengjavaimg950.gif x=


الصيغ التالية:



Mmengjavaimg1416.gif


Mmengjavaimg1417.gif


و P(Z Mmengjavaimg1206.gif z ) = Mmengjavaimg1418.gif (z) = 1 - Mmengjavaimg1409.gif /2 .

القيمة الحرجة Mmengjavaimg1419.gif للاحتمال Mmengjavaimg1409.gif/2 - 1 يتم الحصول عليه من قيم الجدول للتوزيع الطبيعي المعياري .


باستعمال هذه القيم نحصل على مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:


[\mu - z_{1-\alpha/2}\sigma \leq X \leq \mu + z_{1-\alpha/2}\sigma]



والاحتمال "لهذا المجال":


P(\mu - z_{1-\alpha/2}\sigma \leq X \leq \mu + z_{1-\alpha/2}\sigma) = 1 - \alpha


مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:


S2 26 11.gif




أي:


P(\mu - z_{1-\alpha/2}\sigma \leq X \leq \mu + z_{1-\alpha/2}\sigma) = 2 \Phi(z) - 1.



لأجل z المعطاة نحسب درجات الثقة للمجال:


P(\mu -z_{1-\alpha/2}\sigma \leq X \leq \mu +z_{1-\alpha/2}\sigma )
0,6827\quad \mbox{for }\quad z=1
0,9545\quad \mbox{for }\quad z=2
0,9973\quad \mbox{for}\quad z=3




من جهة أخرى نجد أيضا القيمة z التي تنتج درجة الثقة المطلوبة Mmengjavaimg1409.gif - 1

مثال:


P(\mu -z_{1-\alpha /2}\sigma \leq X \leq\mu+z_{1-\alpha /2}\sigma ) = 0,95</math


z=1,96