اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين

من Arab MM*Stat
اذهب إلى: تصفح، ابحث

اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين,المثال الداعم لاختبار الفرق بين متوسطي المجتمعين



H100.gif 9.4 اختبار الفرق لمتوسطي المجتمعين


لاختبار العنصر المجهول الأن هو فرق التوقع لمجتمعين منفصلين \mu_{1}-\mu_{2} , ستبنى اختبارات عنصرنا على العينات الفردية من هذين المجتمعين.

توجد عدة طرق منفصلة لبناء الاختبارات للفرق بين توقعات المجتمعين , سيبنى اختبارنا على الفروض التالية:


  • يوجد مجتمعين , يشاهد المتغير العشوائي في المجتمع الأول X_{1} له التوقع E\left( X_{1}\right)=\mu_{1} والتباين Var \left(X_{1}\right)=\sigma_{1}^{2}

تشاهد عناصر المتغير العشوائي في المجتمع الثاني X_{2}

E\left(X_{2}\right)=\mu_{2} و Var\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2},

نختبر للاختلاف في قيمهم المتوقعة على اعتبار \mu_{1} و \mu_{2} مجهولان.


  • حجما المجتمعين N_{1} و N_{2} كبيران بشكل كافي لبناء اجراءات الاختبار على العينات العشوائية البسيطة المسحوبة بدون اعادة.

يشار لأحجام العينات بواسطة n_{1} و n_{2} على التوالي


  • العينتين مستقلتين .
  • وكلا المتغيرين العشوائيين X_{1} و X_{2} لهما التوزيع الطبيعي X_{1}\sim N\left( \mu_{1};\;\sigma_{1}\right) و X_{2}\sim N\left( \mu_{2};\;\sigma_{2}\right)

أو توزيعاتهم ستقرب بشكل كافي بواسطة التوزيع الطبيعي عبر نظرية الحد المركزية. أحجام العينتين n_{1} و n_{2} كبيرة بما فيه الكفاية.


H100.gif الفرضيات


اعتمادا على التطبيقات ستكتب الاختبارات الثنائية أو الأحادية الجانب:


1-الاختبار الثنائي الجانب :


H_{0}:\; \mu_{1}-\mu_{2} = \omega_{0}\quad H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} \neq \omega_{0}


2-الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:


H_{0}:\; \mu_{1}-\mu_{2} \leq \omega_{0} \quad H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} > \omega_{0}


3-الاختبار الأحادي الجانب الأيسر:


H_{0}:\; \mu_{1}-\mu_{2} \geq \omega_{0} \quad H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} < \omega_{0}



H100.gif الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار


شاهدنا سابقا بأن تقدير الفرق للمتوسطين:


D=\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}


حيث : X_{1} و X_{2} متوسطي العينتين ذلك يعني:


\overline{X}_{1}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}\;X_{1i}\quad \overline{X}_{2}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}\;X_{2i}


له التوزيع الطبيعي مع التوقع E\left( D\right) =\omega =\mu_{1}-\mu_{2}.

يتضمن استقلال متغيرات العينة تباين متوسط العينة وهو فرق التباينات لمتوسطي العينتين .


Var\left( D\right) =\sigma_{D}^{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}


نفرض \omega_{0} هو البعد الحقيقي ما بين توقعات المجتمع \omega = \omega_{0}

عندئذ D تتبع التوزيع الطبيعي مع التوقع E(D) = \omega_{0} والتباين \sigma_{D}^{2}.


لبناء الاختبار الاحصائي المناسب , سنصنع نفس الفرق المبني على معرفتنا حول الانحرافات المعيارية \sigma_{1} و \sigma_{2}

كما في حالة العينة الأحادية. دعنا نبدأ مع الافتراض البسيط : نعرف الانحرافات المعيارية في كلا المجتمعين \sigma_{1} و \sigma_{2}.


الانحرافات المعيارية المعلومة \sigma_{1} و \sigma_{2}:


اذا عرفنا \sigma_{1} و \sigma_{2}, التوزيع D محدد تماما كما في الأعلى , ونستطيع معايرة D لضمان تطبيق الجداول العددية للتوزيع الطبيعي المعياري.


V=\frac{D-\omega_{0}}{\sigma_{D}}=\frac{\left( \overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)-\omega_{0}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}


تحت الفرضية H_{0}, V له التوزيع الطبيعي المعياري (على الأقل تجريبي).

وسيستخدم جدول القيم العددية للتوزيع الطبيعي المعياري التجميعي لتحديد القيم الحرجة. تترجم هذه الربيعات الطبيعية لمجالات القرارات التالية لأجل الاختبارات عند مستوى الدلالة\alpha


الاختبار مجال الرفض لأجلH_{0} مجال القبول لأجل der H_{0}
الاختبار الثنائي الجانب \left\{ v|v<-z_{1-\alpha/2}\mbox{ oder } v>z_{1-\alpha/2}\right\} \left\{v|-z_{1-\alpha /2}\leq v\leq z_{1-\alpha /2}\right\}
الأحادي الجانب الأيمن \left\{v|v>z_{1-\alpha }\right\} \left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}
الأحادي الجانب الأيسر \left\{v|v<z_{-1-\alpha }\right\} \left\{v|v\geq-z_{1-\alpha }\right\}



الانحرافات المعيارية المجهولة \sigma_{1} و \sigma_{2} :


علينا تقدير الكميات المجهولة \sigma_{1} و \sigma_{2} باستعمال حدود العينة:


S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\;\sum_{i=1}^{n_{1}}\left(X_{1i}-\overline{X}_{1}\right)^{2},\quad S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\;\sum_{i=1}^{n_{2}}\left(X_{2i}-\overline{X}_{2}\right)^{2}


نفرض تجانس التباينات , بمعنى المتغير العشوائي له نفس التباين \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} في كلا المجتمعين .

تابع التقدير S^{2} للتباين المشترك \sigma^{2} هو الوسط الحسابي المثقل لتقديري التباينين S^{2}_{1} و S^{2}_{2}:


S^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2} +\left(n_{2}-1\right)\;S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}-2}


لهذا نكتب التقدير S_{D}^{2} الى \sigma_{D}^{2} كالتالي:


S_{D}^{2}=S^{2}\; \left( \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}\right)=\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}\; n_{2}}\;\frac{\left( n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2} +\left(n_{2}-1\right)\; S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}


يحسب الاختبار الاحصائي V: عندئذ كالتالي:


V=\frac{D-\omega_{0}}{S_{D}}=\frac{\left(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)-\omega_{0}}{\sqrt{\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}\;n_{2}}\;\frac{\left(n_{1}-1\right)\;S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) \cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}


وله توزيع-t مع درجة الحرية f = n_{1} + n_{2} - 2


تحت افتراض عدم تجانس التباينات \sigma_{1}^{2}\neq \sigma_{2}^{2} , سيقرب التقدير S_{D}^{2}كالتالي:


S_{D}^{2}=\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}


اقترح ويلز لبناء الاختبار الاحصائي على هذا التقريب واستعمل  :


V=\frac{D-\omega_{0}}{S_{D}}=\frac{\left( \overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right) -\omega_{0}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}



كاختبار احصائي.


تحت الفرضية H_{0} , سيقرب بواسطة توزيع-t مع درجة الحرية f المحسوبة كالتالي:


f=\frac{\left( \frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\frac{1}{n_{1}-1}\;\left(\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}\right)^{2}+\frac{1}{n_{2}-1}\;\left(\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}



في كلا الحالتين (تجانس وعدم تجانس التباينات) يمكن أخذ القيم الحرجة من جدول توزيع-t

يبين الجدول التالي مجالات القرار المشتقة لمواقف الاختبار الثلاثة (لأجل مستوى الدلالة \alpha)


الاختبار مجال الرفض لأجلH_{0} مجال القبول لأجل H_{0}
الاختبار الثنائي الجانب \left\{v|v<-t_{1-\alpha/2;n_{1}+n_{2}-2}\mbox{ oder } v>t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\right\} \left\{v|-t_{1-\alpha/2;n_{1}+n_{2}-2}\leq v\leq t_{1-\alpha /2;n_{1}+n_{2}-2}\right\}
الاختبار الأحادي الجانب الأيمن \left\{ v|v>t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\} \left\{ v|v\leq t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}
الاختبار الأحادي الجانب الأيسر \left\{v|v<t_{-1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\} \left\{v|v\geq -t_{1-\alpha ;n_{1}+n_{2}-2}\right\}


في كلا أحجام العينتين n_{1} و n_{2} كبيرة بشكل كافي لتبرير تطبيق نظرية الحد المركزية n_{1}>30 و n_{2}>30.

مجالات القرار الناتجة مشابهة لتلك في حالة التباينات المعلومة .


H100.gif العينة وحساب الاختبار الاحصائي


على أساس العينة المشاهدة , متوسطي العينتين \overline{x}_{1} و \overline{x}_{2}

واذا لزم يمكن حساب الانحرافات المعيارية التجريبية s_{1} و s_{2} ,

باستبدال هذه القيم لعبارة الاختبار الاحصائي , نعطي قيمة الاختبار الاحصائي الفعلية v.


H100.gif قرار الاختبار والتعاريف


تحمل قرار الاختبار والتعاريف بشكل مشابه كما في حالة اختبار متوسط العينة الواحدة.